Algebraische Erweiterung

In der abstrakten Algebra ist eine Feld Erweiterung namens algebraischen wenn jedes Element, erhältlich als eine Wurzel eines Polynoms mit Koeffizienten in einigen ist.

Begriffsbestimmungen

Ist ein Feld. Eine Erweiterung wird zu einem anderen Feld gegeben und ein Homomorphismus Injektion in. Durch den Homomorphismus, kann es als ein Teilfeld zu erkennen. Die Verlängerung ist im allgemeinen mit der Notation angegeben.

Ein Element ist algebraisch über, wenn es ein Polynom mit Koeffizienten aus, so daß

Ein Artikel nicht auf algebraischen wird gesagt, transzendent.

Wenn alle Elemente algebraischen schaltet sind, wird die angerufene algebraischen. Ansonsten ist es transzendent.

Minimalpolynom

Aller Polynome, die verschwinden, es ist eine insbesondere aus einem minimalen Grad, wobei die minimale Polynom auf. Nachgewiesen wird, dass es eindeutig bis auf eine multiplikative Konstante ist, und dass die von ihm erzeugten idealen der Kern dell'omomorfismo Auswertungs

Darüber hinaus ist der Grad dieses Polynoms genau der Grad der Ausdehnung, in der die Unterfeld, erzeugt durch und durch.

Beispiele

Sie sind und die Felder der rationalen Zahlen, reellen.

  • Die Erweiterung ist transzendent, denn π ist nicht die Wurzel jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten.
  • Die Erweiterung ist algebraisch, weil jeder komplexe Zahl ist eine Wurzel eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, beispielsweise
  • Stellen Sie sich das durch und erzeugt Teilfeld. Die Verlängerung ist algebraisch, denn es ist die Wurzel des Polynoms mit rationalen Koeffizienten
  • Jedes Polynom mit Koeffizienten in definiert seine Zerfällungskörper, die eine Erweiterung der algebraischen "generiert" durch die Wurzeln ist.

Algebraisch abgeschlossenen

Ein Feld, das keine algebraischen Erweiterungen verfügt heißt algebraisch abgeschlossen. Ein Beispiel ist der Körper der komplexen Zahlen.

Jedes Feld hat eine algebraische, die algebraisch abgeschlossen ist, aber, dies im allgemeinen Fall beweisen, erfordert eine der Formen des Auswahlaxiom.

Verallgemeinerungen

Die Modelltheorie verallgemeinert das Konzept der algebraischen Erweiterung beliebige Theorie: ein Eintauchen der genannten Verlängerung in der algebraischen wenn für jeden existiert in einer Formel, um Parameter, so daß sie wahr ist, und die Menge

Sie ist beendet. Anwendung dieser Definition, um Feld Theorie wird durch die übliche Definition von algebraischen Erweiterung erhalten. Die Galoisgruppe auf nach wie vor als der Automorphismengruppe definiert werden, und die meisten von der Theorie der Galois-Gruppen können in diesem allgemeineren Kontext entwickelt werden.

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