Cantors Diagonalargument

Die Cantors Diagonalargument ist eine technische Demonstration, an der Georg Cantor bewiesen uncountability der reellen Zahlen. Die Technik Cantor in zahlreichen Varianten verwendet, um Ergebnisse im Rahmen der mathematischen Logik und die Theorie der Berechenbarkeit erzielen.

Uncountability der reellen Zahlen

Erstens können wir statt der gesamten Menge R der reellen Zahlen, das Intervall zu berücksichtigen; Wenn dieses Intervall unzählige mehr, wird R. sein

Die Widerspruchsbeweis läuft wie folgt ab:

  • Nehmen wir an, durch Widerspruch, dass der Bereich ist abzählbar.
  • Dies bedeutet, daß die Elemente in Übereinstimmung mit den natürlichen Zahlen, die zu einer Folge von reellen Zahlen {r1, r2, r3, ...}, die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 erschöpft platziert werden.
  • Wir können jede Zahl in der Folge in dezimaler Form dar und zeigt die Folge von reellen Zahlen als unendliche Matrix, die mehr oder weniger wie folgt aus:
  • Nun unsere Aufmerksamkeit auf die Figuren entlang der Diagonalen der Matrix, das heißt, über die Nachfolge deren k-te Element der k-ten Dezimalziffer rk, wie gezeigt:
  • Diese Folge von Zahlen auf der Diagonale, als Dezimaldarstellung ersichtlich, definiert eine reelle Zahl 0.5140235 .... Betrachten wir nun eine neue reelle Zahl x, dass er all die verschiedenen von der Sequenz auf der Diagonalen Zahlen hat, um einen Weg einer Reihe definieren solche ist die folgende:
    • wenn der k-te Dezimalziffer rk 5 wird der k-ten Stelle von x 4
    • wenn die k-te Ziffer der rk nicht 5 ist, dann die k-te Dezimalziffer x 5
  • Zu Beginn des Arguments wir davon aus, dass unsere Liste {R1, R2, R3, ...} enumerasse alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, ist dann wir rn haben sollte = x für einige x nicht, weil zwischen 9 haben es Dezimalstellen dessen Darstellung ist einzigartig. Diese einzigartige Darstellung muss es daher sein, dass in der n-ten Zeile der Tabelle vorhanden.
  • An dieser Stelle gibt es einen Widerspruch: sowohl an der n-ten Dezimalstelle rn = x. Es kann 4 oder 5. Für x sein wird als die Ziffer bis 4 definiert ist, wenn und nur wenn es gleich 5 und 5 ist, wenn und nur wenn es anders ist als 5. Dies ist unmöglich, und es folgt, daß die Ausgangshypothese falsch und das ist nicht abzählbar.

Der Satz über die Mächtigkeit

Die Idee, nur um den reellen Zahlen ausgesetzt verallgemeinert zu zeigen, dass zu jedem gegebenen Menge A und ihre Potenzmenge P kann es keine Übereinstimmung zwischen und sein werden. Zuerst haben wir Grund, durch Widerspruch:

  • absurd, anzunehmen, dass es eine Korrespondenz.
  • Bau eines neuen Teilmenge, so dass diese keinen der Sätze für jeden sein: Der offensichtlichste Weg ist zu sagen, dass für jede neue Untermenge enthält, wenn und nur wenn, das heißt, das heißt
  • denn wie wir definiert haben D kann dies nicht ein Satz für nicht, in der Tat, wenn es eine für die wir haben, was ein Widerspruch ist.

Wir beobachten, dass in diesem Fall können Sie nicht "sehen" die hypothetische Eins-Entsprechung, weil der Satz konnte nicht zählbaren sein, aber kann man in diesem Fall, dass eine ideal unendlichen Matrix mit Zeilen für Spalten definiert sich vorstellen, mit den Werten 0 und 1 und das es eine Zeile für jede aus einer Folge von 0 und 1 zusammengesetzt ist: 1 in Übereinstimmung mit den Elementen, die in 0 für diejenigen, die es nicht sind, und. Auch in diesem Fall kann man identifizieren, eine "Diagonale" durch die Elemente der "Koordinaten" zusammengesetzt und bauen eine "Linie", die das Gegenteil von der Diagonalen ist und das Ergebnis ist genau die Menge wir oben definiert haben.

Andere Verwendungen des Gegendiagonale

Weitere Demonstrationen durch die diagonale Argument erhalten sind vor allem auf dem Gebiet der mathematischen Logik und die Theorie der Berechenbarkeit gefunden. Sie sind die Unentscheidbarkeit des Halteproblem, die Existenz eines berechenbare Funktion, die nicht rekursive ist primitiv, die Unentschlossenheit der Peano Arithmetik und auch der Satz von Ascoli-Arzelà es verwendet wird. Die diagonale Argument ist auch die Grundlage der Richard Paradox.

Intuitionisten und Diagonalargument

Die oben genannte Demonstration ist nicht konstruktiv: es ist wahr, dass die Anzahl diagonal gebaut wird, aber die anfängliche Annahme, die eine Liste von Zahlen nicht wirklich bauen diese Liste oder, wenn Sie es vorziehen, nicht geben einen Algorithmus, um in endlicher Zeit zu berechnen Was ist die Position einer bestimmten Zahl. Es wird dann von der Schule intuitionistic abgelehnt. Die meisten Mathematiker, jedoch nehmen diese Beweise als wahr.

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