Darstellung der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen haben unterschiedliche Darstellungen, die alle gleichwertig. Als Feld von komplexen Zahlen ist isomorph zu jeder komplexen Zahl wird als Vektor in der komplexen Ebene dargestellt. Es kommt zu der Wahl des Koordinatensystems.

Kartesischen

Die kartesische Darstellung der am nächsten zu der Definition von komplexen Zahlen:

und die imaginäre Einheit.

Dies ist nichts anderes als eine allgemeine lineare Kombination von Elementen der Basis und mit reellen Koeffizienten a, b.

Polardarstellung

Verwenden Sie die Polardarstellung komplexer Zahlen bedeutet in Polarkoordinaten

wobei der Modulus der komplexen Zahl, während es die Phase oder Argument. Angesichts einer komplexen Zahl in rechteckige Koordinaten ausgedrückt a + bi wird das Modul trivial erhalten als:

Die Phase aus der trigonometrischen Funktion des Arkustangens erhalten werden:

Dies ist notwendig, die Tatsache, dass der Arkustangens liefert Werte zu einer halben Vollwinkels eingeschränkt, was den Verlust der Informationen in Bezug auf die Halbebene, in die passend die komplexen Zahldaten zur Folge hätte adressieren.

Wenn die Beziehung nicht definiert. Nichtsdestotrotz können Sie Sinn zum vorhergehenden Formel für Mittel zuweisen.

Im Allgemeinen, da die Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es eine Übereinstimmung zwischen komplexen Zahlen und polare Darstellungen. Es ist einfach, die Identität zwischen allen in der Form ausgedrückt Zahlen belegen, durch die der Raum der polaren Darstellungen in Äquivalenzklassen unterteilt: diese sind in Übereinstimmung mit komplexen Zahlen, mit Ausnahme der 0, für die Nicht- Ihnen eine einzigartige Darstellung finden.

Exponential

Verwendung der Eulerschen Formel oder, äquivalent, die Definition von komplexen Exponentialfunktion folgt der Polardarstellung direkt den sogenannten exponentiellen Darstellung:

Dies ist die Schreibweise, die am häufigsten in Anwendungen, bei denen Grße und Phase eine Bedeutung prominente Bezug auf Real- und Imaginärteil und das bevorzugte polare Darstellung größere Kompaktheit und die größere Bequemlichkeit bei der Durchführung von Multiplikationsoperationen müssen verwendet wird.

Matrixdarstellung komplexer Zahlen

Die alternative Darstellungen der komplexen Zahlen kann Ihnen ein besseres Verständnis ihrer Natur. Eine besonders elegante Darstellung interpretiert jede komplexe Zahl als 2 × 2-Matrix von reellen Zahlen, die erweitert / Verträge und dreht sich die Punkte des Plans. Die Matrix hat die Form

mit ein und b reelle Zahlen. Die Summe und Produkt zweier solcher Matrizen ist wieder diese Form. Jeder Nicht-Null-Matrix dieser Form ist umkehrbar und seine inverse wieder von dieser Form. Daher sind die Matrizes dieser Form ein Körper. In der Tat ist dies genau der Körper der komplexen Zahlen. Jede dieser Matrizen geschrieben werden kann als:

Diese Darstellung setzt voraus, dass die tatsächliche Zahl 1 sollte mit der Einheitsmatrix repräsentiert werden

während die imaginäre Einheit i wird mit der Matrix dargestellt

dies entspricht einer Drehung im Gegenuhrzeigersinn um 90 °. Das Quadrat dieser Matrix ist effektiv gleich der Matrix, die die reelle Zahl -1 darstellt.

Der Absolutwert einer komplexen Zahl als Matrix ausgedrückt wird, die gleich der Quadratwurzel der Determinante dieser Matrix. Wenn die Matrix wird als die Transformation eines Punktes in der Ebene betrachtet wird, dann wird die Transformation dreht die Punkte mit einem Winkel gleich dem Richtungskoeffizienten der komplexen Zahl und dem Punkt eines Skalierungsfaktors gleich dem absoluten Wert der komplexen Zahl. Das Konjugat der komplexen Zahl z entspricht der Transformation, die / erweitert die Punkte der Ebene mit dem gleichen Skalierungsfaktor, die ze dreht sie den gleichen Winkel zusammenzieht, dass das Argument von z, aber in die entgegengesetzte Richtung; Diese Operation entspricht der Transponierten der Tabelle, die z.

Es hat eine ähnliche Schreibweise mit dem Körper der Quaternionen.

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