Differential

In der Mathematik, insbesondere in der Infinitesimalrechnung, die Differential einer Funktion quantifiziert die unendlich kleine Veränderung der Funktion in Bezug auf eine unabhängige Variable. Für eine Funktion nur einer Variablen, beispielsweise der Differential wird durch die 1-Form definiert:

wo bezeichnet die Ableitung nach der oder dem Grenzwert des Quotienten für unendlich klein, und es ist eine Real-Variable hinzu. Es ist das Produkt der Erhöhung der unabhängigen Variablen für die Ableitung der Funktion selbst.

Wenn wir eine differenzierbare Funktion, mit offenen in betrachten, kann es in einer Umgebung von jedem Punkt der Domäne mithilfe der Funktion angenähert werden:

deren Graph ist die Tangente an der Kurve in. Die Funktion ist ähnlich zu einer in sich, dass eine lineare Abstand zur Kompostierung mit einer Übersetzung ist. Die Differenz wird dann der lineare Teil.

Die Richtungs Ableitungen einer Funktion anzugeben, was ändert sich die Funktion der ersten Ordnung entlang eines gegebenen Vektors, während der Differential ist die lineare Anwendung, die die Vektor ordnet die Änderung in der ersten Ordnung. Es ist daher eines Objekts nützliche Informationen zu bekommen über lokale Start-Funktion, zeigt beispielsweise, ob es lokal invertierbar ist.

Definition

In der Diskussion der modernen Differentialrechnung, das Differential der in Abhängigkeit von einer einzigen Variablen als Funktion von zwei unabhängigen Variablen und gegeben durch:

wobei die Ableitung.

Dieses Konzept findet seine Hauptanwendung in der Annäherung an eine lineare Funktion. Lassen Sie Und Werden zwei Banachräumen und offen. Eine Funktion aufgerufen differenzierbare wenn ihre Veränderung, wie sie vom durch eine lineare kontinuierliche angenähert bewegt. Explizit gibt es lineare und so dass:

mit der Notation mit oder kleiner eins hat, in einer äquivalenten Weise:

Wenn sie differenzierbar ist, wird die lineare Anwendung Differenz in bezeichnet und wird manchmal bezeichnet wird, oder auch.

Das Vorhandensein der O-Klein zeigt an, dass die Grafik und Bestechung. Intuitiv kann man denken, es ist eine Funktion, die in, und so, dass der Graph sowohl einer Oberfläche und eines Klaviers. In einem solchen Fall, wenn die zwei Graphen, welche in einer Ecke ausgebildet ist dann die Differenz:

Es sollte linear sein nähert sich in einer bestimmten Richtung, und die Beziehung würde der Tangente der zwischen dem Flugzeug und der Oberfläche in der betrachteten Richtung gebildete Winkel neigen. Daraus folgt, dass, wenn es in dem Differential differenzierbar ist der lineare Teil der affinen Anwendung deren Graph ist tangential zu der in.

Äquivalent, wenn sie differenzierbar ist, können Sie schreiben:

und durch Definition von kleinen oder:

Unter Berücksichtigung dieser Ausdruck als Definition ist es differenzierbar, ob es so, dass der Grenzwert Null ist. Die Zahl ist die Ableitung der in der Tat durch Definition:

  • Beides. Die Jacobi-Matrix ist in diesem Fall eine lineare Abbildung ist, und wird daher als ein Zeilenvektor Gradienten. Ein solcher Vektor kann als ein Spaltenvektor angesehen werden, und in diesem Fall wird das Bild mittels des Gradienten berechnet macht es das Skalarprodukt und keine Matrixmultiplikation.
  • Beides. Das Bild ist eine Kurve. Die Jacobi hat die gleichen Komponenten des Vektors Sie als Quotient begrenzen ottine. Bei der die Position eines Materials Punkt im Raum, beispielsweise ist es Geschwindigkeit. Die Menge aller seine Vielfachen ist eine gerade Linie, die tangential zu der Kurve verschoben angemessen ist.

Leibniz-Notation im Fall von Funktionen

Die Funktion mit Identität selbst zugeordnet ist, und ist linear und differenzierbar ist. Da jede lineare Funktion ist seine Differential gleich der Funktion selbst und unabhängig von der Stelle, an der sie berechnet wird. Wenn es wird mit ihm hat, unabhängig davon, dargestellt werden:

Da die Ableitung der Jacobi des Differenz Funktionen in der folgenden haben wird erhalten:

aus denen:

Dann wird das Verhältnis der beiden linearen Funktionen ist konstant und ist gleich der Ableitung an der Stelle. Auf diese Weise können Gefühl der strengen Notation von Leibniz, der die Ableitung einer Funktion als Quotient aus der Differentialfunktion und der unabhängigen Variablen zum Ausdruck zu machen. Jedoch wurde die Behandlung in dieser Form durchgeführt wird ist nicht in der Lage, die arithmetischen Operationen an Schiede aus, die in der Schreibweise der Leibniz trotz des Fehlens eines rigorosen Basis eine einfach zu merkende Verfahren zum Schreiben von Eigenschaften der Derivate rechtfertigen. Eine strikte Gewinnungsverfahren Leibniz ist nicht notwendig, sich auf Verfahren, die nicht mit den Analysestandards, die von Abraham Robinson in den sechziger Jahren formuliert gehören, beziehen.

Differential in mehreren Variablen

Angesichts einer Funktion, die partielle Differential in Bezug auf jede der Variablen ist, wo wird die partielle Ableitung nach der i-ten zu koordinieren. Das vollständige Differential der Funktion ist die Summe aus der partiellen Differential bezogen auf alle unabhängigen Variablen:

In einer kompakteren kann es zu informieren:

Wo Sie angeben, mit dem Farbverlauf, mit dem infinitesimalen Variation, die ein Vektor mit Komponenten unendlich kleinen und mit dem Skalarprodukt.

In einem eher formalen, wenn sich der Anstieg ist eine differenzierbare Funktion ist gegeben durch:

wo die Fehlerterme werden all'annullarsi der abgebrochen. In einem strengen Weise ist dann definiert die Gesamtdifferenz in der folgenden Weise:

Mit dieser Definition haben wir:

und dann können Sie schreiben:

Ähnlich wie im Fall von nur einer Variable ist die Näherung:

wobei der Gesamtfehler kann beliebig klein gemacht werden relativ als ausreichend kleinen Schritten.

Differentiale höherer Ordnung

Die höhere Ordnung Differential einer Funktion nur einer Variablen können wie folgt definiert werden:

und ganz allgemein:

Informell, rechtfertigt dies die Verwendung der Leibniz Notation für höhere Ableitungen:

Wenn die unabhängige Variable ist abhängig von anderen Variablen der Ausdruck wird komplexer, zum Beispiel:

Ähnliche Überlegungen machen es möglich, das Differential der Funktionen höherer Ordnung in mehrere Variablen zu definieren. Wenn beispielsweise in Abhängigkeit von zwei Variablen und hat:

wo ist der Binomialkoeffizienten. In der multivariaten Ausdruck ist es ähnlich wie vorausgesetzt, Sie haben die entsprechende Erweiterung multinomial verwenden.

Die Differentiale höherer Ordnung in mehrere Variablen wird weiter komplex werden, wenn die unabhängigen Variablen wiederum von anderen Variablen. Wenn beispielsweise und hängen von anderen Variablen:

Der n-ten Ordnung Differential einer Funktion und einem Anstieg kann auch definiert werden als:

oder, äquivalent, wie, wo es eine finite Differenz vorwärts mit Zunahme. Diese Definition ist auch sinnvoll für eine Variable.

Differential Morphismen zwischen Sorten

Betrachten wir zwei Sorten und glatt, und einen Morphismus zwischen ihnen, oder von einer Anwendung differenzierbar. Es kann wie im Differential der linearen Applikation vom Raum tangential in den Raum Tangente dadurch sendet, wobei festgelegt werden:

für jeden, dem sie gelten als die Tangentenvektoren als Ableitungen. Unter Berücksichtigung der Tangentenvektoren als Äquivalenzklassen von Kurven Schleifen Sie die entsprechende Definition zu bekommen:

Die Karte wird auch als Tangente Karte, denn das Symbol definiert einen kovarianten Funktor von der Kategorie der differenzierbare Mannigfaltigkeiten in einem der Vektorbündel.

Exakte Differential

Eine genaue Abweichung ist eine 1-Form:

derart, dass es eine Funktion, die es Potential, welches genügt:

Mit anderen Worten, unter Berücksichtigung eines dreidimensionalen Raum und eine Differentialform ist es eine genaue Form einer Domäne, wenn es einige Skalarfunktion auf, so daß festgelegt:

gesamten. Dies ist äquivalent zu sagen, dass das Vektorfeld ist ein konservativer Vektorfeld, entsprechend der Steigung einer Skalarfeld.

In einer Dimension, ist ein Differentialform genau, wenn es eine primitive hat. Ansonsten ist es nicht das Grundelement kann nicht schreiben, besitzen und die Form ist nicht richtig.

  0   0
Vorherige Artikel Aclla
Nächster Artikel Svein von Norwegen

Kommentare - 0

Keine Kommentare

Fügen Sie einen Kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Zeichen übrig: 3000
captcha