Divisor

In der Mathematik ist eine ganze Zahl ein Teiler einer ganzen, falls es eine solche ganze Zahl, daß. B. 7 ist ein Teiler von 42. Es wird auch gesagt, dass 7 teilt 42 oder dass 42 ist durch 7 teilbar oder 42 ist ein Vielfaches von 7 und Schreiben. Die Trennstege sind sowohl positiv als auch negativ sein. Die positiven Teiler von 42 sind {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Sonderfälle: 1 und -1 keine ganze Zahl zu teilen, und jede ganze Zahl ein Teiler von 0. Zahlen durch 2 teilbar sind auch aufgerufen, während diejenigen, die nicht sind ungerade genannt.

Der Name wird in der Tatsache, dass der von Null verschiedene ganze Zahl teilt das gesamte wenn und nur wenn die Division mit Rest des Rest null verbunden.

Regeln für kleine Teiler

Es gibt einige Regeln, damit Sie verstehen nur einige kleine Teiler einer Zahl durch Blick auf seine Nachkommastellen:

  • eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer ist durch zwei teilbar. Beispiel: 45 eine ungerade Zahl ist, ist daher nicht durch zwei teilbar ist, und 1478 ist gleich und ist daher durch zwei teilbar ist;
  • eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn die Summe ihrer Ziffern ist ein Vielfaches von drei. Für den Fall, sollte das Ergebnis größer als 9 sein, addieren Sie zwei oder mehr Ziffern der Folge, und es wird bestimmt, ob ein Vielfaches von drei. Beispiel: Die Summe der Ziffern der Zahl 213 6 ist, so dass 213 durch drei teilbar ist. Im Fall von 579 schaltet jedoch die Summe sich als 21. Da die 2 + 1 macht drei, auch 579 ist durch drei teilbar;
  • eine Zahl durch 4 teilbar ist, wenn die Anzahl von seinen beiden letzten Ziffern gebildet wird, ein Vielfaches von 4 oder zwei Nullen. Beispiel: Die Zahl 144 endet mit den Ziffern 44 und, da die vier Socke in 44, ist die Nummer 144 durch 4 teilbar Selbst 500 ist durch vier teilbar;
  • eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5. Beispiel: Sowohl 5025 19.830, die teilbar sind, um 5, im Gegensatz zum 783.
  • eine Zahl ist, durch 6 teilbar ist, wenn es durch 2 teilbar und 3. Beispiel: Die Zahl 96 ist durch 2 teilbar ist, dass drei, und so ist es auch durch 6 teilbar ist;
  • eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn Subtrahieren zweimal letzten stellige Zahl ohne die letzte Ziffer des Ergebnisses ist von 7 teilbar Wenn die Zahl zu groß ist, können Sie sie in Gruppen von drei Ziffern von rechts nach links, indem Zeichen teilen Wechsel zwischen jeder Gruppe. Eine Zahl kann auch durch 7 teilbar sein, wenn es die Summe der drei Mal die Ziffer vor der letzten Ziffer einer Zahl und ihre letzte Ziffer;
  • eine Zahl durch 8 teilbar, wenn die Zahl, weil es die letzten drei Ziffern;
  • eine Zahl ist, durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern ist ein Vielfaches von neun;
  • eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist;
  • eine Zahl ist, teilbar durch 11, wenn durchgeführt, ist die Summe der Ziffern in einer geraden Position und denen einer ungeraden Position, wird die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren von diesen Ergebnissen Null oder 11. Beispiel: In der Reihe 4257, muss hinzugefügt werden, die Zahlen, die eine ungerade Position oder 4 und 5 zu besetzen, mit denen, die eine Position gleich sind, oder 2 und 7. Die Summe der Ziffern, die zu besetzen eine ungerade Position 9 zu besetzen, dass der Ziffer in einem Ort, gleich ist ebenso 9. Unterschied ist dann gleich Null ist;
  • eine Zahl teilbar durch 12 teilbar ist, wenn es von beiden 3 und 4 ist
  • eine Zahl durch 13 teilbar wenn Subtrahieren 9mal die letzte Ziffer vom Ergebnis dieser private Nummer ist teilbar durch 13. Das Verfahren der Aufteilung von großen Zahlen in Gruppen von drei Ziffern, erläutert im Hinblick auf die Teilbarkeit von 7, auch es arbeitet in dieser Fall. Eine Zahl kann durch 13 teilbar, selbst wenn es die Summe des Vierfachen des letzten Ziffer einer Zahl, und alle Zahlen, die diesen vorausgehen können.
  • eine Zahl teilbar durch 14, wenn es durch 2 teilbar ist, ist, dass für 7
  • eine Zahl ist, teilbar durch 15, wenn sie durch 3 teilbar ist, die 5 ist
  • eine Zahl durch 17 teilbar ist, wenn die Differenz zwischen der Anzahl durch Entfernen der Einerstelle erhalten, und das Fünffache der Einheiten Ziffer 0, 17 oder ein Vielfaches von 17 oder, wenn es in die Differenz zwischen dem vor dem letzten Ziffern und die letzte, multipliziert mit 5 gleich 0 ist, 17 oder ein Vielfaches von 17
  • eine Zahl ist, teilbar durch 19, nachdem es in Form zerlegt, nur wenn es teilbar ist oder wenn es in die Differenz zwischen dem vor dem letzten Ziffern multipliziert mit neun und die letzte gleich 0 ist, 19 oder ein Vielfaches von 19
  • eine Zahl teilbar durch 20, wenn die letzte Ziffer ist 0 und der vorletzte ist 0,2,4,6 oder 8.
  • eine Zahl ist, teilbar durch 23. Wenn es durch 23 teilbar ist, wobei die Summe der Zehnerstelle und die Einerstelle Siebenfache oder wenn in das der Unterschied zwischen den Ziffern, die dem letzten und letzten multipliziert mit 16 gleich 0 ist, 23 oder ein Vielfaches von 23
  • eine Zahl ist, teilbar durch 25, wenn das letzte zwei Stellen 00, 25, 50 oder 75
  • eine Zahl ist, teilbar durch 29, wenn es auch die Zehnerstelle auf den dreifachen Zahl der Einheiten hinzugefügt werden oder wenn in diesen die Differenz zwischen ihrer Ziffern, die dem letzten und letzten multipliziert mit 26 ist gleich 0, 29 oder ein Vielfaches von 29

Eigenschaft

Einige grundlegende Eigenschaften:

  • wenn a | b und a | c, dann a |
  • wenn a | b und b | c, dann a | c
  • wenn a | b und b | ein, dann a = b oder a = b
  • wenn d | a und d | b, dann d |

Mehr Informationen

Eine positive Teiler von n außer n selbst heißt Teiler eigenen.

Primzahlen

Eine ganze Zahl n & gt; 1, deren einzige Teiler ist genau 1 heißt Primzahl.

Jede positive Teiler von n ist ein Produkt von Primfaktoren von n bis zu einem gewissen Potenz erhoben. Dies ist eine Folge der Fundamentalsatz der Arithmetik.

Vollkommene Zahlen, defekte, reichlich

Eine Zahl, die gleich der Summe ihrer echten Teiler wird als vollkommene Zahl. Zahlen kleiner als die Summe sind defekt genannt, denen häufiger.

Anzahl der Fächer

Die Gesamtzahl der positiven Teiler von n ist die multiplikative Funktion d = 8 = 2 × 2 × 2 = d × T × D). Wobei die Summe der positiven Teiler von n ist eine weitere multiplikative Funktion σ = 96 = 3 × 4 × 8 = σ × σ × σ).

Wir stellen fest, dass, wenn eine Zahl prim ist, dann hat zwei Teiler, hat drei Teiler etc. usw. Im allgemeinen Teiler. Also, wenn die Primfaktorzerlegung von n ist gegeben durch:

Dann wird die Anzahl der positiven Teiler von n ist:

und jeder Teiler in der Form:

Wo:

Da beispielsweise

dann

und dann 36000 hat 72 Teiler.

Wenn eine Zahl Quadrat die Exponenten der Faktoren sind alle gleich, und somit die Anzahl der Partitionen ist seltsam.

Bericht induzierte Teilbarkeit

Der Bericht | Teilbarkeit macht die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen eine Halbordnung, nämlich eine völlig distributiven Verbandes. Das größte Element dieses Gitters gleich 0 ist, und der kleinste ist 1. Die Operation wird durch den größten gemeinsamen Teiler, während das kleinste gemeinsame Vielfache repräsentiert. Dieses Gitter isomorph zum dualen des Gitters von Untergruppen der unendlichen zyklischen Gruppe

Allgemeine Regeln der Teilbarkeit

Wenn n eine ganze Zahl ist in der Basis B geschrieben ist eine ganze Zahl, so daß b ≡ 1, dann ist n durch d teilbar ist, wenn auch die Summe der Ziffern in der Basis b ist. Die oben für d = 3 und d = 9 angegebenen Regeln sind spezielle Fälle dieser.

Wir können diese Methode verallgemeinern zu finden, wie man zu jeder Basis zu kontrollieren, ist die Teilbarkeit der jede ganze Zahl für jede ganze Zahl kleiner; das heißt, zu bestimmen, ob d | zur Basis b. Zuerst schauen wir uns für ein Paar von ganzen Zahlen, so dass b ≡ k. Statt nun Addition der Zahlen nehmen wir an und vermehren sich die ersten mn Zahlen für K und K fügen Sie das Produkt den neuesten Zahlen, und bei Bedarf wiederholen. Wenn das Ergebnis ein Vielfaches von d wird der ursprüngliche Zahl teilbar ist durch d. Einige Beispiele:

Seit 10 ≡ 1 wird die Zahl a = 1523836638 ist teilbar durch 37 kann, wie gezeigt werden: × 1 1.523.836 1.524.474 + 638 = 1524 + 474 = 1998 × 1, 1 × 1 + 998 = 999; 999 ist teilbar durch 37 in der Kongruenz Ansicht oben.

Noch 10 ≡ 2, wenn wir 431 × 2 = 43106 + 06 = 868; Wir wiederholen: 8 × 2 + 68 = 84, die ein Mehrfaches von 7 Anmerkung ist, dass es nur eine Triade; In der Tat konnten wir auch 10 ≡ 3 und anschließend 3 + 6 = 1293 × 3885, 388 × 3 + 5 = 1169, 116 × 3 + 9 = 357, 35 × 3 + 7 = 112, 11 × 3 + 2 = 35 schließlich 1 × 3 + 4 = 7. Natürlich ist 3 × 3 + 5 = 14 und nicht immer effizient, aber beachten, dass jede Zahl in der Reihe ist ein Vielfaches von 7 und oft mehrere identifizierbare trivial. Dieses Verfahren ist nicht notwendigerweise nützlich für bestimmte Nummern ist die erste n, wobei k & lt; 10), aber es eignet sich für schnelle Berechnungen in anderen Fällen, in denen n und k sind relativ gering.

Verallgemeinerungen

Sie könnten über das Konzept der Teilbarkeit in jeder Integritätsbereich sprechen. Siehe den Eintrag für eine Definition in diesem Zusammenhang.

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