Folge von Thue-Morse

Die Sequenz von Thue--Morse, auch als Folge von Prouhet-Thue--Morse, ist eine Folge von binären Ziffern, die Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik findet. Die Reihenfolge beginnt mit:

Auf 0 und 1 können andere Symbolpaar, ohne die die logische Struktur der Sequenz betroffen sind ersetzen.

Definition

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um die äquivalente Sequenz von Thue--Morse definieren.

Direkte Definition

Die n-te Nummer der Sequenz von Thue--Morse ist 0, wenn der Ausdruck der n in der Basis 2 enthält eine gerade Anzahl von 1, und ist einer, wenn es eine ungerade Anzahl enthält. Zum Beispiel kann die binäre Ausdruck der Nummer 5 101, die 2 Ziffern 1 enthält: dann das fünfte Symbol der Sequenz von Thue-Morse ist eine 0. Der Mathematiker John Conway definiert Nummern verhaßt ganzen Zahlen n, so dass tn = 1 und Zahlen bösen diejenigen, für die tn = 0.

Wie rekursiven Folge

Die Abfolge der Thue-Morse ist die Sequenz, die die Eigenschaft, dass, wenn tn ist die n-te Element der Folge von Thue-Morse erfüllt, dann

für jede natürliche Zahl n.

Als L-System

Die Sequenz von Thue--Morse ist die Ausgabe des folgenden Systems von Lindenmayer:

Dies bedeutet, dass ausgehend von einer 0 und Operanden ersetzt alle 0 und 01 mit allen 1 mit 10, und Wiederholen endlos. Man beachte, dass dieser Prozess unverändert lässt, werden die Anfangswerte der Zeichenkette, wobei jede Iteration verdoppelt die Anzahl der Ziffern.

Definition von Negation Stück für Stück

Die Sequenz von Thue--Morse, wenn sie als eine Folge von Bits betrachtet wird, kann rekursiv durch die Verweigerung definiert werden, indem bei jedem Schritt Sequenz das genaue Gegenteil. Wenn Sie die ersten beiden Elemente der Saite besitzen, kann man also wissen, die folgenden 2, die in Bit gegenüber der ersten Jahreshälfte aus. Zum Beispiel zu wissen, daß das erste Bit ist eine 0, da ihre Negation 1, das nächste Bit wird 1 sein kann; und da die Denial-of-01 10 die nächsten zwei Bits 10 sein; und so weiter. Die ersten Schritte sind die folgenden:

  • T0 = ​​0.
  • T1 = 01.
  • T2 = 0110.
  • T3 = 01101001.
  • T4 = 0110100110010110.
  • T5 = 01101001100101101001011001101001.
  • T6 = 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110.

Wie unendliche Produkt

Die Aufeinanderfolge der Thue--Morse kann als Folge von 0 und 1, die die folgende Beziehung erfüllen definiert werden:

als das n-te Element der Sequenz immer im Hinblick auf tn.

Mathematischen Eigenschaften

Wobei die Aufeinanderfolge der Thue--Morse konstruierbar für Negative und nachfolgende Additionen, unter Verwendung des Verfahrens der Negation der Blöcke von Bits, es enthält viele Quadrat nämlich wiederholt Strings in Form xx, wobei x eine Folge von Bits. Es gibt kubischen, also Zeichenfolgen der Form xxx. Es gibt sogar überlagert Quadrate, dh Strings oppue 0x0x0 1x1x1.
Für n & gt; 1, das Stück der Sequenz von Thue--Morse beginnen T2N ein Palindrom. Darüber hinaus zählen 1 0 zwischen zwei aufeinanderfolgenden T2n und Berufung qn in die durch die Verkettung dieser Werte erhalten String ist qn immer ein String Palindrom und freie Platz. Dies liegt daran, Tn enthält nicht überlappenden Quadraten und Tn ist immer Palindrom.
Die Abfolge der Thue-Morse, wenn auch nicht eine periodische Sequenz ist eine Sequenz Antragsteller: Das bedeutet, dass unter jeder Zeichenkette x in seinem Inneren, gibt es immer eine Länge Lx, dass was auch immer Stück sequanza immer mindestens einmal enthält x . Die kritische Exponenten der Sequenz 2 ist.
Definieren un'endofunzione f auf dem Satz von binären Sequenzen, die auf einer Sequenz Ersetzen aller 0 und 01 mit allen 1 mit 10 arbeitet, wird die Sequenz von Thue--Morse unverändert durch die Anwendung f bleiben: oder, f = T, und T ist somit ein Festpunkt f. Die einzige andere Festpunkt ist, was Sie zu leugnen, die Folge von Thue-Morse selbst, die durch Ersetzen alle 0-1 oder umgekehrt ist; Es ist dann im wesentlichen der einzige feste Punkt der Funktion f.

Erzeugende Funktion

F die Definition als die Erzeugungsfunktion der Folge von Thue--Morse in dem endlichen Feld GF

kann gezeigt werden, dass F genügt die quadratische Gleichung

Diese Gleichung hat zwei Lösungen: die Abfolge von Thue-Morse und sein Komplement, die durch Ersetzen 0 mit 1 und 1 mit 0 gewonnen wird.

Krawatten √2 und π

Wir waren die folgenden Berichte geprüft:

Anwendungen

In Problem Prouhet Tarry-Escott

Das Problem der Prouhet-Tarry-Escott gebeten, zu finden, da zwei ganze Zahlen a & gt; 0 eine ganze p≥0 eine Partition der Menge der natürlichen Zahlen von 0 bis a-1 in zwei disjunkte Teilmengen, so dass jede der Summen der Befugnisse bis zu der p-ten der jeweiligen Elemente ist die gleiche, nämlich

Das Problem hat immer mindestens eine Lösung dar, wenn ein Vielfaches von 2, die, indem sie in die Teilmenge S0 Zahlen n, für welche tn = 0 -Das die Zahlen malvagi- und in der Untermenge S1 Zahlen n, für welche tn = 1 -i erhaltene odiosi- Nummern, oder umgekehrt.

Angesichts jede Menge S von Elementen in einer arithmetischen Progression, von der binomischen Lehrsatz folgt auch, dass, wenn ein ein Vielfaches von 2 immer in zwei Teilmengen, deren Summen existiert mindestens eine Partition der Menge der p-ten Kraft der Elemente von S der Elemente gleich sind.

Die Sequenz als Grafik Turtle

Eine graphische Darstellung der Schildkröte ist eine Kurve entsprechend einer Reihenfolge und in einem Muster von vorbestimmten Anweisungen erhalten. Die Reihenfolge der Thue-Morse-Codierung des Koch-Kurve, wobei als Eingabe und die folgenden Anweisungen:

  • Wenn t = 0, vorwärts zu gehen um eine Einheit der Länge;
  • Wenn t = 1 ist, dreht sich im Gegenuhrzeigersinn um 60 °.

Dies veranschaulicht die selbstähnliche Natur der Sequenz.

Verteilung der Ressourcen

Die Sequenz von Thue--Morse bietet eine Lösung für die Probleme der Ressourcenverteilung zwischen den beiden Anwärter. Zum Beispiel, wenn A und B wollen eine Gruppe von Elementen zu teilen, wollen einen Weg finden, um zu vermeiden, dass einer von ihnen die Gelegenheit, Qualitätskomponenten wählen, muss größer als A ist bis zum 1. sein muss, 4., 6., 7. usw. Selektion und B die 2., 3., 5., 8., und so weiter. Wahl. Diese Eigenschaft kann auch angewendet werden, um beispielsweise den Inhalt einer Kaffeekanne in eine bestimmte Anzahl von Tassen Kaffee mit gleicher Konzentration der gelösten Stoffe zu teilen, und daher mit der gleichen Geschmack. Dies wurde von dem Mathematiker Robert Richman, der, ohne explizit die Benennung der Reihenfolge beschrieben, die Beziehungen der durch Tn Bereich mit der Walsh-Funktion und die Funktion der Rademacher beschriebenen Schritt Funktionen bewährt. Richman hat gezeigt, dass die n-te Ableitung kann bezüglich Tn ausgedrückt werden, und dann wird das durch Tn beschriebenen Stufenfunktion orthogonal ist Polynome vom Grad n-1.

In der Spieltheorie Kombinierer

Geschichte

Die Reihenfolge der Thue-Morse wurde ursprünglich von dem Mathematiker Eugène Prouhet im Jahre 1851, die es in die Zahlentheorie angewendet, ohne explizit definiert, gestaltet. Das erste, dies zu tun war, im Jahre 1906, Axel Thue, der die Sequenz verwendet, um die Kombinatorik auf Worte zu etablieren. Allerdings wurde die Nachfolge auf den die Aufmerksamkeit der internationalen Gemeinschaft nur im Jahr 1921 gebracht, dank der Arbeit von Marston Morse wendete sie auf Differentialgeometrie.
Die Reihenfolge der Thue-Morse wurde sogar von nicht-professionellen Mathematikern unabhängig voneinander mehrfach wiederentdeckt. Zum Beispiel kann die Schachgroßmeister und Mathematik Dozent Max Euwe 1929 entdeckte einen Weg, um die Sequenz zu verwenden, um in der Regel, die das Schachspiel mit einem Unentschieden im Falle der Wiederholung der Dauerfolgen bewegt endete der Ansicht zu bekommen, und kann zu verlängern Stufenlos das Spiel, unter Ausnutzung seiner Eigenschaft, frei von Teilstrings dreimal wiederholt.

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