Fredholm Alternative

In der Mathematik, der Fredholm Alternative, dessen Name durch Ivar Fredholm, ist einer der Sätze der Fredholm, die einen Teil der Theorie der Fredholm ist. Die enuciato zeigt, dass eine komplexe Zahl ist null oder kein Eigenwert einer kompakten Bedienperson oder in seiner Lösung.

Der Satz kann auf verschiedene Art und Weise angegeben werden, da die Formulierung kann als Teil der linearen Algebra, Integralgleichungen und die Theorie der Fredholm Operatoren durchgeführt werden.

Lineare Algebra

Ist ein Vektorraum der Dimension sie eine lineare Transformation. Dann ist es genau eine der folgenden Aussagen:

  • Für alles, was existiert. Mit anderen Worten, es ist ein surjektivität und daher bijektive denn der Raum endlicher Dimension.

Eine Formulierung, die Matrizen verwendet besagt, in äquivalenter Weise, die eine Matrix der angegebenen Größe und einen Spaltenvektor der Dimension, das ist genau eine der folgenden Anweisungen:

  •  Es besitzt eine Lösung
  •  Es hat Lösung

Oder eine Lösung hat, wenn und nur wenn für jeden, so dass hat, nämlich.

Integralgleichungen

Die Alternative kann sagen, daß bei einem kompakten Betreiber oder eine andere Lösung selbst, oder haben eine einzigartige Lösung für jede Wahl exprimiert werden, das heißt, das zu sagen, oder ein Eigenwert bzw. begrenzt ist, das heißt, in der Domäne des Betreibers Lösung. Als Teil dieser Integralgleichung wird ausgedrückt unter Berücksichtigung der Fredholmsche Integralgleichung:

wo es ist ein fester Kern smooth operator integraler so definierte es kompakt ist. Angesichts der Gleichung nicht homogen:

die Alternative der Fredholm sagt, dass für jede komplexe Zahl nicht Null ist oder die erste Gleichung hat eine nichttriviale Lösung oder das zweite hat eine Lösung für alle, und das gilt auch für ihre Berichte konjugiert komplexen:

Eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit des Satzes ist, dass sie quadratisch integrierbare auf das Rechteck ist.

Der Satz in Banach-Räumen

Durch die Betreiber von Fredholm Satz auf Banachräumen beliebiger Größe verallgemeinert wird. Informell ist die Korrespondenz zwischen der Fassung der Mitteilung in der linearen Algebra und eine für die Integralgleichungen gezeigt fragen:

mit der Dirac-Delta. Der Bediener kann als linearer Operator auf einem Banachraum von Funktionen der Rat mit der Karte angezeigt werden, damit gegeben ist, mit durch:

Der Satz besagt, dass bei einer stetigen linearen Operator zwischen Banachräumen, und sagte dem Betreiber in der Dualraum, oder es sind einzigartige Lösungen für:

oder die homogenen Gleichungen:

Sie haben die gleiche Anzahl von linear unabhängigen Lösungen.

Und sind die Lösungen der homogenen Gleichungen. So kann bei zwei bestimmten Lösungen der Gleichungen und nicht homogen ist, hat die allgemeine Lösung des letzteren ist die Summe einer bestimmten Lösung, und eine lineare Kombination der Lösungen der betreffenden homogene Gleichung:

mit beliebigen Koeffizienten.

Die Alternative, Fredholm gilt für eine Bedienungsperson dann, wenn sie als die Summe aus einem kompakten Operator und einem Operator mit kontinuierlicher inverser geschrieben werden.

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