Gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung mit einer Funktion einer Variablen und ihre Derivate von einer beliebigen Reihenfolge.

Wie es für alle Differentialgleichungen, in der Regel nicht eine Ode zu lösen genau, und auf jeden Fall gibt es keine allgemeinen Methoden, dies zu tun. Die möglichen Fälle werden daher einzeln analysiert und oft wir uns auf das qualitative Verhalten der Lösung, ohne die Möglichkeit der Erlangung einen analytischen Ausdruck zu studieren. Besonders einfach sind lineare Differentialgleichungen, da es immer zu einem System von linearen Gleichungen erster Ordnung zurückgeführt werden.

Definition

Beide, zusammen mit einer offenen und angeschlossen.

Es definiert gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung ein Bericht wie folgt aus:

in denen es zeigt die Ableitung mit dem i-ten-Funktion.

Wenn es in einem Bereich der euklidischen Raum definiert ist, dann sind sie richtig als gewöhnliche Differentialgleichungen in Echtfeld betrachtet wird, wenn es eine reelle Werte.

Die Reihenfolge einer Gleichung die maximale Ordnung der Ableitung, die dort angezeigt wird, während das Adjektiv gewöhnlichen bezieht sich auf die Tatsache, daß die Unbekannte ist eine Funktion von nur einer Variablen. Wenn die Unsicherheit hängt von mehreren Variablen, die Sie haben, partielle Differentialgleichung.

Ist ein Intervall. Es definiert Lösung oder Integralgleichung gewöhnlichen Differentialfunktion, so dass:

Eine gewöhnliche Differentialgleichung wird gesagt, autonome, wenn nicht ausdrücklich ab.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung wird gesagt, in Normalform geschrieben, wenn sie ausdrücklich in Bezug vorgenommen werden:

Es wird gesagt, linear sein, wenn es lineare Kombination, und zwar:

oder äquivalent:

wobei:

Der Begriff wird die Quelle oder zu zwingen, und ist null, wenn die lineare Differentialgleichung homogener sagte.

Eine Gleichung gewöhnlichen besitzt linear unabhängige Lösungen in einer Anzahl gleich dem Grad der Gleichung, wobei jede lineare Kombination wird wiederum Lösung.

Auf eine gewöhnliche Differentialgleichung, wenn Sie eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit ihm verbunden wissen, dann können Sie eine bestimmte Lösung des "vollständig" zu finden. Hierzu gibt es verschiedene Verfahren, einschließlich der Variation der Parameter und der Anwendung der Laplace-Transformation. Für einfache Fälle gibt es auch einige Theorien: zum Beispiel, für die Gleichungen ersten Grades können Sie für eine geeignete Integrationsfaktor zu suchen, für die von einem zweiten gibt es die Theorie der Sturm-Liouville. Im allgemeinen wird jedoch in der Regel die einzige Möglichkeit, um die Lösung zu untersuchen, ist die Verwendung eines Verfahrens zur numerischen Lösung.

ODE-Systeme

Verringerung des Gleichungssystems der Ordnung 1

Ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen der Ordnung in Normalform ist ein Bericht der Vektortyp:

Eine klassische Lösung für ein solches System ist eine Funktion, so dass:

Von besonderer Bedeutung für die Praxis ist die Reduktion einer gewöhnlichen Differentialgleichung der Reihenfolge, in Normalform mit einem Differentialsystem der ersten Ordnung. Diese Technik erlaubt es, einige Arten von Problemen erheblich vereinfachen, die Vermeidung der Einführung von komplexen Formen der Auflösung. Beide:

eine Differentialgleichung der Ordnung normaler Typ. Wir definieren:

so dass insbesondere. Die Differentialgleichung ist also äquivalent zu dem System:

Plazierung:

Sie erhalten:

oder, das mit anderen Worten, man kann immer in eine Gleichung der Ordnung 1. Mit einem völlig analogen Verfahren zu übersetzen, dass verfolgt und umgekehrt ist auch möglich, umgekehrt, oder um eine Gleichung n-ter Ordnung zu erhalten, ausgehend von einer Gleichung Ordnung ist eines, bei dem ein Vektor der Dimension sowohl Lösung.

System von Gleichungen der Ordnung n

Wenn Sie eine Vektor betrachten wie folgt definiert:

und eine Funktion, die auf und seine Derivate, dann das Schreiben wirkt:

bezeichnet eine explizite System gewöhnlicher Differentialgleichungen der Ordnung n. In Form von Spaltenvektoren haben Sie:

Das gleiche System ist implizit:

wo. In Matrixform:

Lösungen

Datum Gleichung:

eine Funktion aufgerufen wird eine Lösung von gewöhnlichen Differential wenn sie differenzierbar n Faches und hat:

Gegeben seien zwei Lösungen, und heißt die Erweiterung und wenn:

Eine Lösung, die keine Erweiterungen aufgerufen maximale Lösung, während eine endgültige Lösung von allen ist eine derartige umfassende Regelung.

Eine allgemeine Lösung einer Gleichung der Ordnung n ist eine Lösung, die n Integrationskonstanten unabhängig, während eine bestimmte Lösung ist aus der allgemeinen Lösung erhalten verleih einen festen Wert auf den konstanten, in der Regel, um die Anfangsbedingungen oder Randbedingungen zu erfüllen. In diesem Zusammenhang ist eine einzigartige Lösung eine Lösung, die nicht durch Zuordnen eines Wertes zu den definierten Integrationskonstanten erhalten werden können.

Existenz der Lösung und der Cauchy-Problem

Ein Anfangswertproblem ist eine gewöhnliche Differentialgleichung:

der er mit einem Punkt in dem Bereich der zugeordneten:

rief die Anfangsbedingung. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist eine Funktion, die eine Lösung von Abweichung ist und die Bedingung erfüllt. In anderen Worten, die Cauchy Problems besteht in der Suche nach einer Kurve, bei denen durch definierte, die durch den Punkt hindurchgeht.

Die Existenz einer lokalen Lösung wurde von Augustin-Louis Cauchy unter der Annahme, der Kontinuität und der Enge einer Region ihre Herrschaft getestet. Anschließend wird die Existenz und Eindeutigkeit Räumlichkeiten wurden von Emile Picard mit der Hypothese der Lipschitz bezüglich gezeigt, und das Ergebnis kann auf eine globale Form verlängert werden. Wenn dies der Fall ist Lipschitz in einer Region der Domäne dann gibt es mindestens eine Lösung-Kurve differenzierbar Kontinuität durch jeden inneren Punkt vorbei. Vereinfachung der Frage, ob und kontinuierlichen in einem geschlossenen Rechteck in der xy-Ebene von der Form sind:

wobei e die kartesischen Produkts, dann gibt es ein Intervall:

wo für einige die einzige Lösung gefunden werden kann. Dieses Ergebnis gilt auch für die nicht-linearen Gleichungen der Form sowie die Gleichungssysteme.

Die Cauchy-Kovalevskaya, was auch für partielle Differentialgleichungen, zeigt ganz allgemein, dass, wenn das Unbekannte und die Anfangsbedingungen einer Differentialgleichung sind lokal analytische Funktionen, dann existiert eine analytische Lösung und ist einzigartig. Die unbekannte Funktion kann auf Werte von unendlich dimensionalen Räumen, wie beispielsweise Banachräumen und Verteilerräume zu nehmen.

Lokale Existenz und Eindeutigkeit

Es gibt einige Sätze, die das Vorhandensein und die mögliche lokale Eindeutigkeit von Lösungen für die Datenkinderkrankheiten herstellt. Die beiden wichtigsten sind die Existenz- und Eindeutigkeitssatz für eine Cauchy-Problem, das die Lipschitz-Funktion, die den gewöhnlichen Gleichung definiert und schließt die Existenz und Einzigartigkeit des Ortes, und die Existenzsatz von Peano übernimmt, der nimmt das Schluss nur Kontinuität bestand. Die ersten Staaten, die angesichts der Anfangswertproblem:

wenn es ein Lipschitzstetigkeit in und weiterhin für einige Zeit keine einzelne Lösung für die Anfangswertproblem auf dem Intervall. Der Existenzsatz von Peano übernimmt nur weiter, aber garantiert nicht die Eindeutigkeit der Lösung, wobei nur seine lokale Existenz. Wenn es vorhanden ist, oder ist einzigartig und es gibt unendlich. Eine Erweiterung dieses Ergebnis wird mit dem Theorem der Existenz Carathéodory, das gilt auch für Fälle, in denen die Gleichung nicht kontinuierlich war.

Globale Einzigartigkeit

Wenn die Voraussetzungen des Satzes der Existenz und Eindeutigkeit für das Cauchy-Problem werden dann erfüllt die Bedingung der lokalen Existenz kann zu einem Gesamtergebnis verlängert werden. Für jede Anfangsbedingung gibt keinen einzigen maximalen Offenlage:

so dass jede Lösung, die Anfangsbedingung erfüllt ist, eine Beschränkung des zufriedenstellenden Lösung, so dass der Anfangszustand in der Domäne definiert. Im Fall gibt es nur zwei Möglichkeiten:

wo ist der offene, wo sie definiert ist und seine Grenze.

Um die Lösung durchzuführen, ist nur der höchste Bereich, in dem die Lösung wird so definiert, dass ein Bereich, der im allgemeinen abhängig von dem Anfangszustand ist. Betrachten Sie zum Beispiel:

Da es Lipschitz, den Satz von Picard-Lindelöf genügt es. Die Lösung:

Es hat eine maximale Reichweite für seine Domäne:

Gleichungen erster Ordnung

Der einfachste Fall ist, in dem:

mit einer stetigen Funktion auf einer offenen Menge definiert. Das Problem geht auf die Suche nach der Grundelemente zurückgeführt werden. In diesem Fall, wenn eine Lösung, dann auch mit, es ist noch Lösung. Darüber hinaus, wenn wir das und gibt Lösungen für einige.

Angesichts einer Anfangsbedingung, die Gleichung in der Form zu schreiben, damit muss man:

und die Lösung wird durch den Fundamentalsatz der Analysis zur Verfügung gestellt:

Datum jede Lösung, und deshalb hat es: die Lösung wird eindeutig durch die Ausgangsdaten bestimmt.

Autonome Systeme

Autonome Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung des Typs:

wo eine stetige Funktion mit einer kontinuierlichen ersten Ableitung gesamten Abstand, und das nicht von der unabhängigen Variablen abhängen. Wenn es ein Träger Sie ein Standalone-System oder ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen autonomen:

Von besonderer Bedeutung sind die Punkte, so dass die Gleichgewichtspunkten, auf welche die Lösung konstant entspricht.

Ein generisches System von gewöhnlichen Differentialgleichungen:

Er kann autonom durch die Einführung einer neuen, unbekannten vorgenommen werden.

Exakte Differentialgleichung

Betrachten wir ein einfach miteinander verbunden sind und offen und zwei Funktionen, stetig auf. Die Differentialgleichung implizite:

Eine Differentialgleichung genau, wenn es eine differenzierbare Funktion mit Kontinuität der genannten Potential, so dass:

Der Begriff "genau" bezieht sich auf die Gesamt Ableitung einer Funktion, die manchmal als das "Derivat genaue", das für eine Funktion in durch:

In physikalischen Anwendungen und sind sie in der Regel nicht nur kontinuierlich, sondern auch stetig differenzierbar, und der Satz von Schwarz liefert dann eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz der Potentialfunktion. Es existiert genau dann, wenn:

Exakte Lösungen

Detaillierte unten sind einige wichtige Fälle gewöhnlicher Differentialgleichungen exakt gelöst.

Die Tabellenfunktionen, ,,, und Funktionen werden in integrierte ,, während und reelle Konstanten Termine. Außerdem sind sie beliebige Konstanten im allgemeinen komplex. Die Notation gibt die Integration der in Bezug auf und anschließende Ersatz.

Anwendungen

In der Physik, die Modellierung eines Systems erfordert häufig die Auflösung eines Anfangswertproblem. In diesem Zusammenhang ist beispielsweise der Differentialgleichung kann die Entwicklung eines dynamischen Systems in der Zeit beschreiben, in Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen: Man betrachte ein Material Punktmasse in freiem Fall, unter der Wirkung der Schwerkraft. Durch die von Newton auf die Dynamik der Körper beschrieben Gesetzen, haben wir, dass:

Mit Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem mit der Achse parallel und diskordant Richtung des Erdbeschleunigungsvektors und Projizieren des früheren Bericht über die Koordinatenachsen wird es hatte, dass die einzige Gleichung, die sich im Wesentlichen auf der Achse ist:

Dies liefert. Um die Lösung des Problems zu bestimmen, ist es notwendig, um die Anfangsposition und Geschwindigkeit des Körpers in einem bestimmten Zeitpunkt zu kennen. Die Integration von:

aus denen:

und Integration wieder:

aus denen erhalten wird:

Wie man sehen kann, wird die Lösung von zwei Parametern abhängig, beziehungsweise Geschwindigkeit und Ausgangsposition.

Beispiel

Betrachten Sie das Cauchy-Problem:

Die lokale Existenzsatz garantiert die Existenz von mindestens einer Lösung. Eine davon ist trivial und ist auch global, daß auf der gesamten definiert:

Zusätzlich zu dieser Lösung ist jedoch, können andere durch die Integration der Gleichung zu finden, da es sich um eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen. Deshalb:

aus denen:

und dann:

aus denen erhalten wird:

Es ist somit möglich, die Funktionen, die ausgehend von den zwei Lösungen gefunden, die Kontinuität bewahren aufzubauen:

welche sie sind auch Lösungen der am Set definiert Problem. Darüber hinaus ist eine feste und Ort:

Wir neue Lösungen für das gleiche Problem, wie diese zu erstellen:

auch definiert. Diese Lösungen sind endlos, und wenn Sie grafisch darstellen Sie eine Zahl, die Bürste Peano zu bekommen. Die Tatsache, dass ein Cauchyproblem kann unendlich viele Lösungen besitzen manchmal als Phänomen der Peano und ist aufgrund der Tatsache, dass das Derivat nicht in Punkt begrenzt: Um mit diesem Problem fertig zu werden, besteht die Existenztheorem global.

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