Glatte Funktion

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Dezember 27, 2015 Anni Kant G 0 41

In der Mathematik ist eine glatte Funktion in einem Punkt ihres Bereichs eine Funktion, die immer und immer wieder, oder äquivalent differenzierbar ist an dem Punkt, das ist ableitbar wieder in dem Punkt, in Bezug auf jede Variable. Wenn eine Funktion ist glatt an allen Punkten einer Reihe, es wird gesagt, dass es für eine Klasse von und schreibt.

Glatte Funktionen und Analysefunktionen in der realen Fall

Ist eine echte Funktion der reellen Variablen in einer Domäne definiert sind, und nehme an, dass er reibungslos auf dem Intervall geöffnet. Dann nahm einen Punkt, können Sie die Funktion um, dass dank dem Satz von Taylor Punkt anzunähern:

wobei die Menge ist ein Rest, so dass:

Da die Funktion glatt ist, ist diese Näherung für jeden. Insbesondere ist es möglich, den Taylor-Reihe der Funktion, die die Grenze für auszuwerten:

Anders als das, was man erwarten könnte, ist diese Serie im Allgemeinen nicht zusammenlaufen: Wenn die Konvergenz stattgefunden hat, ist die analytische zu sein, und wenn es die Menge der Punkte, wo analytisches Schreiben ist. Da jede analytische Funktion ist besonders glatt, dass der Bericht der Mengenlehre:

Ein ähnliches Argument kann gemacht, um in mehr Variablen funktioniert.

Beispiele

  • Die Exponentialfunktion ist eine glatte Funktion aller der reellen Achse, mit Derivaten von beliebigen Reihenfolge jedes Vielfache von selbst:
  • Die folgende stückweise definierte Funktion:

Glatten Funktionen komplexer

Im Fall von komplexen Funktionen komplexe Variable, die Glätte an einem Punkt direkt dall'olomorfia der Funktion abstammen an diesem Punkt. Aus diesem Grund sprechen wir uns gleichgültig der "Glätte" oder "Differenzierbarkeit" einer komplexen Funktion. In der Tat kann gezeigt werden, dass eine komplexe Funktion holomorphe einer Domäne besteht sogar analytisch.

Definition für Verteiler

Und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ein Punkt. Eine Funktion aufgerufen differenzierbar, wenn es eine Karte und eine Karte in der Zusammensetzung und so dass:

glatt in einer Umgebung. Diese Definition ist nicht abhängig von den Karten zur Auswahl: in der Tat unter anderen Karten und die Zusammensetzung glatt in einer Umgebung verbleibt.

 Es ist differenzierbar, wenn es für jeden in. Wenn es auch umkehrbar mit Reverse glatt dann sagt er einen Diffeomorphismus. Das Studium der Invarianten Diffeomorphismen ist Gegenstand der Differentialtopologie.

Bauen Sie glatte Funktionen über Beschränkungen

Es ist oft nützlich, um glatte Funktionen, die Null außerhalb eines bestimmten Intervalls zu konstruieren, aber nicht innerhalb des gleichen. Diese Eigenschaft kann nie eine Potenzreihe, die ein weiterer Beweis für den Spalt zwischen den glatten Funktionen und Analysefunktionen zur Verfügung stellt.

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