Gleichungslösung

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November 26, 2016 Anni Kant G 0 13

In der Mathematik, um eine Gleichung mittels der Suche nach Gegenständen, die die jeweilige Gleichung treffen zu lösen. Diese Ausdrücke enthalten ein oder mehr Unbekannte, die freien Variablen für die Werte durchsucht werden, die sicherstellen, daß die durch die Gleichung ausgedrückt ist, erfüllt sind. Um genau zu sein, ist es in der Regel bedeutet, dass diese Werte nicht unbedingt tatsächliche Werte, sondern in der Tat oft mathematischen Ausdrücken. Eine Lösung der Gleichung ist eine Zuordnung von Ausdrücken der Unbekannten, die die Gleichung erfüllt, in anderen Worten, wenn diese Ergebnisse für die Unbekannten substituiert ist, wird die Gleichung a tautology.

Zum Beispiel die Gleichung

Es wird von der unbekannten gelöst

seit Ersetzen der Gleichung sein wird, eine wahre Aussage. Es ist auch möglich, um der Variable zu nehmen, und dann wird die Lösung dieses Mal werden. Oder beidem sein und kann als Unbekannte behandelt werden, und in diesem Fall gibt es mehr Lösungen der Gleichung, einschließlich beispiels ,,, und für jeden möglichen Wert Allgemeinen.

Je nach Fragestellung kann die Aufgabe sein, eine Lösung oder eine Lösung oder alle Lösungen zu finden. Die Menge aller Lösungen wird gesagt, gemeinsam Lösungen. Es ist auch möglich, dass das Ziel zu finden, unter den möglichen, die beste Lösung in irgendeiner Hinsicht. Probleme dieser Art werden Optimierungsprobleme genannt; Lösen eines Optimierungsproblems wird in der Regel als "Gleichung zu lösen."

Eine Aussage wie "und eine Gleichung in" oder "zu lösen und zu", bedeutet, dass die Unbekannten sind diejenigen angegeben: in diesem Fall und.

Grundsätze der Äquivalenz

  • Erste Äquivalenzprinzip: Da eine Gleichung, Addition oder Subtraktion, um beide Elemente mit der gleichen Nummer oder die gleiche Ausdruck, der das unbekannte erhält eine Gleichung äquivalent, vorausgesetzt, dass im Falle der Zugabe eines Ausdrucks abhängig von a "unbekannt ist, nicht begrenzt Existenzbedingungen.
    Beispiel:
  • Transport-Regel: Da eine Gleichung, die Durchführung einer Laufzeit von einem Element zum anderen und ändert sie zu unterschreiben Sie eine Gleichung äquivalent zu bekommen.
    Beispiel:
  • Annullierungsregel: eine Gleichung gegeben, wenn es keine gleichen Bedingungen in beiden Seiten, sie gelöscht werden Erhalten einer Gleichung äquivalent werden
    Beispiel:
  • Nach dem Äquivalenzprinzip: Da eine Gleichung, Multiplizieren oder Dividieren Sie beide Seiten durch eine andere Zahl als Null ist, oder ein Ausdruck, die die unbekannten, die nicht umkehren wird was auch immer der Wert der unbekannten selbst, und das schränkt nicht das Existenzbedingungen, erhalten Sie eine Gleichung äquivalent.
    Beispiel:
  • Regel des Vorzeichenwechsel: Da eine Gleichung, die Änderung Zeichen an alle sowohl hinsichtlich der Mitglieder wird eine Gleichung äquivalent erhalten.
    Beispiel:

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Im allgemeinen Fall gibt es eine Situation, wie zum Beispiel:

wobei eine Konstante ist, die einen Satz von Lösungen der Form besitzt:

wo ist der Domino-Funktion. Beachten Sie, dass der Satz von Lösungen beliebiger Mächtigkeit haben. Zum Beispiel:

  • Es kann leer sein. Die leere Menge ist oder bezeichnet wird,
  • Es kann ein Singulett ist,
  • Es kann ein Satz mit einer endlichen Anzahl von Elementen sein,
  • Es kann ein Satz mit einer unendlichen Anzahl von Elementen sein. Unendlichkeit wird durch "" gekennzeichnet.

Beispielsweise ein Ausdruck wie zum Beispiel:

Es gelöst werden kann, zunächst zu versuchen, es in eine besser lesbare math umzuschreiben, ohne die Gleichheit zum Beispiel können wir alles mit dem ersten Element zu bringen, indem von beiden Seiten des erhaltenen Gleichung:

In diesem speziellen Fall gibt es nur eine Lösung der Gleichung, aber eine unendliche Reihe von Lösungen, die geschrieben werden kann:

Eine besondere Lösung ist ,,. In der Tat, diese bestimmte Menge der Lösungen wird eine Ebene in drei Dimensionen, die durch den Punkt

Lösungen zusammen

Wenn die Lösungsmenge leer ist, dann gibt es diejenigen, dass:

Es wird für eine bestimmte wahr.

Betrachten wir zum Beispiel den klassischen Fall einer Variablen auf, wobei eine Funktion:

Betrachten Sie die Gleichung:

Die gesamte Lösung ist, da keine positive reelle Zahl löst die Gleichung. Jedoch wird in einem Versuch, die Lösungen für die Gleichung zu finden, wenn man die Definition der Funktion zu ändern, insbesondere die Funktion der Domäne ist, sind wir in der Lage, die Lösungen für diese Gleichung zu finden. Wenn wir also fest:

Es hat eine Reihe von Lösungen, wobei die imaginäre Einheit ist. Diese Gleichung hat genau zwei Lösungen.

Wir haben bereits gesehen, dass einige Sätze von Lösungen sind in der Lage, die Oberflächen zu beschreiben. Beispielsweise bei der Untersuchung von elementarer Mathematik, wissen wir, dass der Satz von Lösungen einer Gleichung in der Form ,, und reelle Zahlen in konstanten Werten, ist eine Linie in einem Vektorraum. Jedoch ist es nicht immer einfach, grafisch die Sätze von Lösungen. Beispielsweise die Lösung einer Gleichung der Form ist eine Hyperebene.

Lösungsverfahren

Die Verfahren, die Gleichungen zu lösen, ist in der Regel abhängig von der Art der Gleichung, die beide die Art der Ausdrücke in der Gleichung, die die Art von Werten, die die Unbekannten erfolgen. Die Vielfalt der Arten von Gleichungen ist groß, so dass, wenn die entsprechenden Lösungsverfahren. Im Folgenden wird nur bei bestimmten Arten befassen, ist eine umfassende Prüfung nicht möglich.

Im allgemeinen bei einer Klasse von Gleichungen, kann es passieren, dass es keine systematische Methode, die die Lösung garantiert. Dies kann durch einen Mangel des mathematischen Wissens, wurden eine Reihe von Problemen erst nach Jahrhunderten der Aufwand gelöst. Aber das bedeutet auch, dass zu reflektieren in der Regel diese Methode nicht existieren kann: einige Probleme sind bekannt, durch einen Algorithmus unlösbar zu sein, wie zB die Hilberts zehntes Problem, das im Jahr 1970 unlösbar erwiesen hat.

Für verschiedene Klassen von Gleichungen wurden wir gefunden Algorithmen, um es zu lösen, von denen einige umgesetzt wurden und in Computeralgebrasystemen eingebaut, aber erfordern oft nur Papier und Stift. In anderen Fällen sind die bekannten heuristischen Methoden häufig erfolgreich, aber nicht garantiert, um zum Erfolg zu führen.

Brute-Force, um Versuch und Irrtum, Intuition inspiriert

Wenn die Lösung einer Gleichung begrenzt ist, ist, dass eine endliche Menge, oder können auf eine endliche Anzahl von Möglichkeiten beschränkt werden, kann der Satz von Lösungen mit roher Gewalt, gefunden werden kann, das heißt, indem Sie alle möglichen Werte und prüfen, ob sie lösen Sie die Gleichung. Es kann jedoch vorkommen, daß die Anzahl von Möglichkeiten zu berücksichtigen, auch wenn abgeschlossen, ist so groß, dass eine Suche mit dieser Methode ist praktisch nicht möglich; Diese Schwierigkeit wird auf einigen Verschlüsselungsmethoden.

Wie bei allen Arten von Problemen, durch Versuch und Irrtum kann es manchmal zu erzeugen, eine Lösung, insbesondere wenn die Form einer Gleichung oder die Ähnlichkeit mit einer anderen Gleichung bekannt ist, kann zu einer Intuition inspiriert Lösung. Wenn einer Intuition, wenn es geprüft wird, bringt nicht eine Lösung, die Untersuchung der Art, in der sie nicht arbeiten können, um eine Modifizierung zu führen und dann zu der Lösung.

Elementare Algebra

Gleichungen, beinhalten einfache rationale Funktionen oder linear, mit nur einem unbekannt, die Menge der reellen Zahlen, sagen wir, als von:

Es kann durch Verfahren der elementaren Algebra gelöst werden, und die Anwendung der Grundsätze der Gleichwertigkeit.

System linearer Gleichungen

Kleine Systeme linearer Gleichungen können durch die Verfahren der Elementar gelöst werden. Zur Lösung Systeme der großen Zahlen, die verwendeten Algorithmen auf der Grundlage der linearen Algebra.

Polynomgleichungen

Das Polynom mit Grad kleiner als der fünfte durch algebraischen Methoden gelöst werden, einschließlich beispielsweise die quadratische Formel ist die einfachste. Polynomgleichungen mit einer höheren Besoldungsgruppe zum fünften numerischen Methoden oder erfordern spezielle Funktionen wie Trage Radikale.

Diophantische Gleichungen

In Diophantische Gleichungen Lösungen müssen auf ganze Zahlen gehören. In einigen Fällen kann es verwendet werden, um sie mit roher Gewalt Ansatz zu lösen, wie oben ausgeführt werden. In anderen Fällen, insbesondere wenn die Gleichung ist eine Unsicherheitsfaktor, kann die Gleichung für rationale Werte der Unbekannten zu lösen, und die Lösungen dann diophantischer finden begrenzt die einzige Lösung für die ganze ganzzahlige Werte der Lösungen. Zum Beispiel die Polynomgleichung

Es hat als kosteneffiziente und, wobei die einzige Lösung ist Diophantische Gleichung.

Umkehrfunktion

Im einfachen Fall einer Funktion einer Variablen, beispielsweise ,, wir eine Gleichung mit der Form zu lösen:

Bekanntlich führen die umgekehrte Funktion.

In der Tat ist es eine Funktion gegeben, die inverse Funktion bestimmt und ist eine Funktion, so dass:

Wenn wir nun die inverse Funktion auf beide Mitglieder der Funktion:

wir bekommen

und wir haben die Lösung der Gleichung gefunden. Jedoch in Abhängigkeit von der Funktion, die inverse Funktion kann schwierig zu definieren sein oder kann nicht eine inverse Funktion, wenn alle Werte des Satzes von nicht einen einzelnen Wert in haben.

Beispiele für Umkehrfunktionen umfassen die n-te Wurzel, Logarithmus, inverse trigonometrische Funktionen und das Lambert W-Funktion.

Faktorisierung

Wenn die linke Seite ist, dass die Expression einer Gleichung kann berücksichtigt werden, die Lösungsmenge wird durch die Vereinigung der Ausgangslösung und die zwei Sätze von Gleichungen gebildet.
Zum Beispiel die Gleichung goniometrischen:

Es kann geschrieben werden:

die faktorisiert werden kann, mit der Identität, zu:

Die beiden Gleichungen und hat die gleiche Reihe von Lösungen

Welches ist also die Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Numerische Methoden

Bei komplexeren Gleichungen in reelle oder komplexe Zahlen, einfache Methoden zur Lösung der Gleichungen können scheitern. Oft finden Sie eine Nullfunktion mit numerischen Methoden, wie beispielsweise Newton-Raphson, die für einige Anwendungen kann es völlig ausreichend ist, um bestimmte Probleme zu lösen, berechnen.

Taylor-Reihe

Eine große Studie der Mathematik ist entworfen, um zu erkunden, ob es möglich ist, eine einfache Funktion erstellen, um sehr komplexe Gleichung, um den gegebenen Punkt anzunähern. Tatsächlich kann Polynome in einer oder mehreren Variablen verwendet, um die Funktionen in dieser Weise anzunähern: diese sind als Taylor-Reihe bekannt.

Matrixgleichungen

Die Gleichungen, die Matrizen und Vektoren von reellen Zahlen kann oft mit Methoden der linearen Algebra gelöst werden.

Differentialgleichungen

Es gibt eine umfangreiche Liste von Methoden zu lösen verschiedene Arten von Differentialgleichungen numerisch und analytisch. Ein Verfahren zur analytischen Lösungen auf unbestimmte Zeit zu finden ist der Algorithmus von Risch - der leider zu kompliziert ist für die Verwendung mit Stift und Papier.

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