Hyperbolische partielle Differentialgleichung

In Kalkül ist partielle Differentialgleichung der Ordnung hyperbolische partielle Differentialgleichung, dass ein Anfangswertproblem auch für die erste Ableitung gestellt. Genauer gesagt kann die Cauchyproblem lokal für jeden gegebenen anfänglichen Ort beliebig entlang jeder Hyper nicht charakteristisch gelöst werden.

Viele Gleichungen der Mechanik der hyperbolischen Typ, und dies wird im Interesse für die Untersuchung solcher Gleichungen reflektiert. Die Lösungen der hyperbolischen Gleichungen sind "ähnlich" zu den Wellen und in der Tat die hyperbolische Gleichung ist die grundlegende Gleichung der Wellen, die in einer Dimension ist:

Die Eigenschaften dieser Gleichung ist, dass, wenn und ihre erste zeitliche Ableitung Anfangsdaten willkürlich entlang der Startlinie angegeben ist, dann gibt es eine Lösung für all die Zeit.

Wenn man eine Störung in den Ausgangsdaten des Differenz hyperbolischen geben, werden alle Punkte im Raum sind, die mit der Erkrankung betroffen sind. Relativ zu einer Zeitkoordinate, in der Tat, können die Störungen haben eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit und bewegen sich entlang eines der Merkmale der Gleichung. Dies unterscheidet qualitativ hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen zu elliptischen und parabolischen. Eine Störung, die auf den Ausgangsdaten, oder auf der Grenze einer Gleichung elliptisch oder parabolisch Tatsache ärgert sofort auf allen Punkten der Domäne.

Obwohl die Definition von Hyperbolizität ist fondalmentamente qualitative, gibt es bestimmte Kriterien, die von der Art der Differentialgleichung berücksichtigt abhängen. Es gibt eine gut entwickelte Theorie der linearen Differentialoperatoren durch Lars Garding bei der Prüfung der mikrolokalen. Die nichtlinearen Differentialgleichungen sind hyperbolische wenn ihre Linearisierungen sind hyperbolische zweiten Garding.

Definition

Partielle Differentialgleichung ist hyperbolischen, ob das Cauchy-Problem kann nur in einer Umgebung von jedem beliebigen Ort auf der Anfangshyperfläche gelöst nicht verfügen Schleife werden. Hier werden die Ausgangsdaten aus jedem abgeleiteten Quer an der Oberfläche bis zur Ordnung niedriger als diejenige der Gleichung.

Beispiele

Mit einer linearen Änderung der Variablen, die jeder Gleichung der Form:

mit:

Es kann in der Gleichung der Wellen umgewandelt werden, zum Teil, die Bedingungen geringerer Qualität, die nicht wesentlich für die qualitative Untersuchung der Gleichung. Diese Definition ist ähnlich derjenigen einer Hyperbel auf der Ebene.

Die eindimensionale Wellengleichung:

Es ist ein Beispiel für hyperbolische Gleichung. Auch die Beispiele Polidimensionali in die Kategorie von EDV hyperbolischen fallen.

Diese Art von Gleichung zweiter Ordnung in eine hyperbolische System von Differentialgleichungen erster Ordnung transformiert werden.

Hyperbolische System

Betrachten Sie das System von Differentialgleichungen erster Ordnung für die unbekannten Funktionen:

gegeben durch:

wo stetige Funktionen und differenzierbare einmal, nicht notwendigerweise linear. Definieren für jede Matrix die Matrix:

es wird gesagt, dass das System hyperbolischen, wenn für jede Matrix hat nur reelle Eigenwerte und diagonalisierbar.

Wenn die Matrix verschiedene reelle Eigenwerte, so ist es diagonalisierbar. In diesem Fall wird das System das hyperbolische im engeren Sinne.

Hyperbolische Systeme und Erhaltungssätze

Gibt es eine Verbindung zwischen hyperbolische Systeme und Erhaltungssätze. Betrachten Sie eine hyperbolische System eines PDE für eine unbekannte Funktion. Dann wird das System hyperbolischen früheren hat die Form:

Die Funktion kann eine bestimmte Menge mit einer gegebenen Strömungs sein. Zu zeigen, dass diese Menge nicht erhalten, muss es in einer Domäne zu integrieren

Wenn und ausreichend glatte Funktionen, können Sie den Divergenzsatz für die Änderung der Reihenfolge der Integration und die partielle Ableitung nach der Zeit, um ein Gesetz von der Erhaltung der Menge in der allgemeinen Form zu erhalten, verwenden:

was bedeutet, daß die Rate der zeitlichen Änderung des Domain gleich der Nettostrom durch seine Kante ist. Da dies eine Äquivalenz ist beibehalten.

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