Identität des Parseval

In der Mathematik, insbesondere im Funktionsanalyse, die Identität Parsevals Identität oder Bessel-Parsevals ist ein wichtiges Ergebnis, das summability der Fourier-Reihe einer Funktion handelt. Es ist eine Gleichheit, die den Satz des Pythagoras, um bestimmte Funktionsräume in unendliche Dimension passt.

Informell die Identität Parsevals erfordert, daß die Summe der Quadrate der Fourierkoeffizienten einer Funktion gleich dem Integral des Quadrats der Funktion ist:

wobei die Fourier-Koeffizienten gegeben durch:

Allgemeiner ist das Ergebnis gilt selbst dann, wenn eine Funktion ist quadratisch integrierbaren oder zum Raum L. gehör

Ein ähnliches Ergebnis wird Plancherel Theorem, das das Integral des Quadrats der Fourier-Transformation einer Funktion heißt gleich dem Integral des Quadrats der Funktion. In einer Dimension, denn sie haben daher:

Die Identität

Betrachten wir ein normierter Raum zerlegbar, beispielsweise ein Hilbert-Raum, und ist ein Orthonormalsystem in Bezug auf die innere Produkt in definiert. Die Identität des Parseval heißt es, dass für alle:

wobei das innere Produkt definiert den n-ten Fourierkoeffizienten in Bezug auf die Basis.

Wenn es nur ein Grund orthogonal:

Identität ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras, der besagt, daß die Summe der Quadrate der Komponenten eines Vektors in eine Orthonormalbasis gleich dem Quadrat der Länge des Trägers ist.

Wenn übereinstimmt mit und gegebenen, findet den Fall der Fourier-Reihe oben gezeigt ist, dass mit dem System die trigonometrische. Insbesondere die Gültigkeit der Identität Parsevals für einen bestimmten gewährleistet die Angleichung der jeweiligen Fourier-Reihe in der Norm, und die Gültigkeit der Identität für alle garantiert, dass es ein komplettes Orthonormalsystem. Wenn es ein Hilbert-Raum, das Datum eine orthogonale Basis der Parseval Identität hält für jedes Element des Raumes umfasst.

Die Identität Parsevals und gegenseitige Orthogonalität der Unterräume durch die Vektoren erzeugt auch bedeuten, dass:

das heißt, dass jedes Element die Summe der Fourier-Reihe. Parseval-Theorem für die Fourier-Reihe ist ein Sonderfall.

Spaces prehilbertiani

Die Identität Parsevals in seiner allgemeinsten Auffassung Träger in einer inneren Produktraum. Wenn es einen Satz von orthonormalen ist, die insgesamt in dieser Spanne ist dicht linear, dann:

In dem Fall, wo es nicht völlige Gleichheit wird durch die Ungleichung ersetzt und dann der Abschluss mit der des Bessel Ungleichheit zusammenfällt. Der Beweis dieser allgemeinen Version macht Gebrauch von dem Satz von Riesz-Fischer.

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