Integral-Verschluss

In der Algebra, ist das Konzept der integralen Verschluss eine Verallgemeinerung des Satzes von algebraischen Zahlen.

Definition

S ein Integritätsbereich und R ein Unterring von S. Ein Element s von S ist voll, wenn R s ist die Wurzel eines normiertes Polynom mit Koeffizienten in R.

Die Menge der Elemente von S, das Integral R ein Unterring von S enthält, R, und heißt das Integral Schließung von R in S. Wenn das Integral Schließung von R in S R selbst, dann R heißt integral in geschlossenen S. Das verwendete wird durch die folgenden Tatsachen, die typisch für "Schließungen" in der Mathematik sind motiviert Terminologie:

  • die Schließung der R immer vollständig geschlossen;
  • die Schließung von R ist die kleinste integral geschlossenen Ring, R. enthält

Die gegebenen Definitionen offensichtlich nicht nur von R, sondern auch von der Ring S, die es enthält abhängen.

Wenn alle Elemente von S ganze Zahlen von R, wird die Verlängerung der Voll.

Beispiele

  • Die ganzen Zahlen Z sind im Bereich der rationalen Zahlen Q vollständig geschlossen: In der Tat ist keine rationale Zahl ist keine ganze Zahl Wurzel eines normiertes Polynom.
  • Die ganzen Zahlen Z sind nicht vollständig im Bereich der reellen Zahlen R oder komplexe C Die Schließung von Z in C eingeschlossen ist der Ring der algebraischen Zahlen.
  • Die algebraischen Zahlen algebraisch in C geschlossen, und so sind umso vollständig geschlossen.

Feld Quotienten

Wenn S ist der Quotient aus dem Bereich R ist der Verschluss von R in S einfach als algebraische Abschluss von R, und wenn R ist integral in S geschlossen ist, dann R ganz abgeschlossen.

Wie oben zu sehen, sind die ganzen Zahlen vollständig geschlossen ist. Viele Klassen von Ringen sind integral geschlossen: unter diesen sind die einzigartigen Faktorisierung Domänen und die Ringe der Beurteilung.

Seien Sie ganz geschlossen ist ein Ort im Besitz, was bedeutet, dass ein Integritätsbereich ist ganz abgeschlossen ist, wenn sie alle locales AP, wobei P ein Primideal von A.

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