Konstante der Bewegung

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Februar 12, 2016 Tobi Lemm K 0 12

In der Theorie von dynamischen Systemen, ist eine Konstante der Bewegung wird eine Menge, die während der Entwicklung des Systems unverändert bleibt. Aus mathematischer Sicht ist der integralen ersten Bewegungsgleichung beschreibt ein dynamisches System ist, das heißt eine Funktion konstant entlang der Lösungen eines Differenz Problem bleibt.

Im Rahmen der Hamilton-Mechanik, ist eine Konstante der Bewegung eine Funktion, die mit dem Hamilton-Operator des Systems pendelt:

wo im klassischen Bereich der Schalter sollte mit der Poisson-Klammer ersetzt:

Definition

Für ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung:

eine skalare Funktion ist eine Konstante der Bewegung oder Erhaltungsgröße, wenn für alle Anfangsbedingungen haben Sie:

Die Lösung des Systems liegt tangential zur Vektorfeld, das beispielsweise ein Geschwindigkeitsfeld sein kann, und ist der Schnittpunkt der beiden Oberflächen, sie die Integrale des ersten System von Differentialgleichungen.

Mit Hilfe der Kettenregel, müssen Sie:

so dass eine Definition kann als das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten und geschrieben werden:

Das Vektorfeld wird dann senkrecht zu dem Gradienten des Erhaltungsgröße.

Hamilton-Mechanik

Für ein System definiert dall'hamiltoniana entwickelt sich eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und der Bewegungsmenge zeitlich als:

und dann beibehalten wird, wenn und nur wenn:

wo ist die Poisson-Klammer.

Lagrange-Mechanik

Wenn ein System durch ein Lagrangian die nicht explizit von der Zeit abhängt, beschrieben, das heißt, die Energie:

Es wird beibehalten.

Darüber hinaus, wenn, dann ist es eine zyklische koordinieren und den Schwung:

Es wird beibehalten. Dieses Ergebnis lässt sich aus den Gleichungen von Euler-Lagrange ableiten.

Die klassische Mechanik

Der Phasenraum ist, durch die generalisierte Variablen Ort und Impuls, die Menge aller möglichen Zustände des Systems übernommen. Die Lösungen der Bewegungsgleichung gibt die Zeitsteuergesetze, die durch Bahnen im Phasenraum zu repräsentieren. Es ist der Trajektorien passabel durch das System in jedem Augenblick der Zeit ein Zustand. Eine Konstante der Bewegung eine konstante Funktion entlang jeder Bahn des Systems.

Die Existenz einer Konstante der Bewegung nicht-triviale übernimmt das System einen Freiheitsgrad, da es zwingt die Bahnen, auf ebenen Flächen von ständiger Bewegung liegen. Zum Beispiel für einen Oszillator eindimensionalen Hamilton in den natürlichen Variablen ist:

Seit pendelt mit sich selbst ist eine Konstante der Bewegung, und seine Konturen sind Kreise am Ursprung mit einem Radius gleich dem Kernenergie zentriert. Diese Kurven repräsentieren die zeitliche Entwicklung des Systems.

Quantenmechanik

Unter den Begriff der Quantenbahn irgendwie verliert sie ihre Bedeutung, da die Heisenbergsche Unschärferelation verhindert die genaue Messung und zeitgenössische Position und Geschwindigkeit. Allerdings sind die Konstanten der Bewegung auch weiterhin eine wichtige Rolle wegen ihrer tiefen Verbindung mit den Symmetrien des Systems zu spielen.

Wenn eine beobachtbare pendelt mit dem Hamilton-Operator dann eine Konstante der Bewegung ist es, weil invariante Zeitentwicklung generiert. Ebenso ist es invariant bezüglich der erzeugten Transformationen durch. Diese Informationen können Sie nach Lösungen des Systems der Eigenfunktionen, die Funktionen unter diesen Transformationen invariant ist zu suchen. Dies führt oft zu der Trennung einer Differentialgleichung wird in einfacher Gleichungen kompliziert. Ein Beispiel für diese Diskussion wird in der Studie des Wasserstoffatoms, in denen die Verwendung von zwei Konstanten der Bewegung: der Gesamtimpuls des Systems für die Trennung von der Mitte der Masse von dem betreffenden und den Drehimpuls für die Trennung des Problems Winkel von der radialen eins.

Die Energie des Systems kann degeneriert sein, das heißt, einen Wert gesetzt sind mehrere verschiedene physikalische Zustände. Um sie zu unterscheiden, können Sie die Messung von anderen beobachtbaren verwenden, aber da Sie haben diagonalizzarla basierend auf, muss dieser Schalter mit zu beachten.

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