Lineare Differentialgleichung

In der Mathematik ist eine Differentialgleichung eine lineare Differentialgleichung, normale oder partiellen Ableitung, so daß lineare Kombination der Lösungen kann verwendet werden, andere Lösungen zu erhalten.

Definition

Lineare Differentialgleichung der Form:

wobei ein linearer Differentialoperator, der unbekannten Funktion und eine Funktion der gleichen Art von der Quelle. Wenn sie auf die Variable hängen Sie schreiben:

und es kann geschrieben werden als:

oder in der Form:

wo und gegebene Funktionen.

Es wird gesagt, daß eine Gleichung dieses Typs hat Ordnung, dh Reihenfolge gleich der Reihenfolge der höchsten Derivat der unbekannten Funktion vorhanden ist. In dem Fall, wo es die Gleichung ist es homogen. Wenn die Funktionen sind einfach Zahlen wird die Gleichung des konstanten Koeffizienten.

Ordinary Gleichungen erster Ordnung

Diese Art der Gleichung nimmt die kanonische Form:

wobei eine lineare Funktion ist. In dem Fall, in dem:

Die Lösung ist ab sofort durch Integration:

mit einem primitiven aus. Seitdem das Cauchy-Problem:

seine einzigartige Lösung ist gegeben durch:

Homogen mit konstanten Koeffizienten

Die homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten ist die Art:

wobei eine Konstante ist. Die allgemeine Lösung für diesen Fall ist durch die Trennung von Variablen erhalten, nämlich:

aus denen:

Sie

und dann:

Die Lösung wird unter Verwendung des exponentiellen erhalten:

Hinweis darauf, dass die Cauchy-Problem erfordert, ist die Lösung einzigartig:

Inhomogene variablen Koeffizienten

Im allgemeinen Fall, sollten Sie:

Die entsprechende homogene Gleichung:

Es löst die Trennung der Variablen:

und Integrieren:

aus denen:

wo eine primitive Funktion. Die Lösung ist dell'omogenea:

Auch in diesem Fall das Cauchy-Problem:

Es verfügt über einzigartige Lösung.

Zu einer Lösung der inhomogenen zu finden, die man sich die Form:

wobei eine Funktion zu bestimmen. Ersetzen Sie die vorherigen und Ausführen Derivate:

Vereinfachung haben Sie:

von der aus Sie einfach zu integrieren, um zu finden:

wobei eine Konstante ist, nicht bekannt ist, kann Null sein, ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Die allgemeine Lösung ist daher:

Da das Cauchy-Problem zugeordnet ist, können Sie eine und nur eine Lösung im Bereich von Definition haben:

Dies ist die allgemeine Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung. Es wurde zum ersten Mal von Jean Bernoulli, der jüngere der beiden Brüder Bernoulli gefunden.

Integrationsfaktor

Die Gleichung mit linearer Differentialoperator ist, kann auf eine Weise äquivalent zu der Multiplikationsfaktor der Integration gelöst werden. Sie erhalten:

dass für die Produktregel vereinfacht sich zu:

Die Integration beider Seiten:

aus denen:

Die Lösung ist, dass die Koeffizienten Variablen oder Konstanten, ist daher:

wobei eine Integrationskonstante ist, und:

Ein kompakter Form die allgemeine Lösung ist die folgende:

wo ist die Dirac-Delta verallgemeinert.

Beispiele

  • Betrachten Sie die folgende Differentialgleichung:
  • Bedenken Sie:

Ordinary Gleichungen um generische

Die allgemeine Lösung der Gleichung gewöhnlicher Generic wird durch die Zugabe der Lösung der homogenen Gleichung zuzüglich einer bestimmten Lösung des inhomogenen Gleichung, die durch die Veränderung von Parametern, oder durch das Verfahren der unbestimmten Koeffizienten erhalten wird. Wenn die Anfangsbedingungen festgelegt sind, können Sie die spezielle Lösung direkt über die Laplace-Transformation zu erhalten.

Homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten

Bedenken Sie:

Platzierung, müssen Sie:

Dann Division durch einen Polynom der Ordnung n zu erhalten:

wo die Bedingungen des ursprünglichen Gleichung ersetzt durch. Ersetzen jedes der n Lösungen des Polynoms in einer entsprechenden Lösung.

Inhomogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten

Beide stammen aus der Gleichung:

und definieren Sie das charakteristische Polynom:

Sie können eine Basis-Lösungen auf der Suche nach einer bestimmten Lösung, mit der Variation von Parametern zu finden. Angenommen, daß die Koeffizienten der linearen Kombination eine Funktion:

Mit der Notation, können Sie schreiben:

mit Einschränkungen:

Es verfügt über:

aber es ist:

Dieser Ausdruck gemeinsam mit Einschränkungen ist ein lineares System. Mit Hilfe der Cramerschen Regel auf Wronskian:

und Integration des Systems löst. Die jeweilige Lösung ist nicht eindeutig, da auch:

Es erfüllt die ODE für jeden Satz von Konstanten.

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