Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine spezielle Art von linearen Differentialgleichung.

Definition

Lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form:

wo und stetige Funktionen sind in einem realen Intervall.

Um es zu lösen, betrachten die Differentialgleichung zugehörigen homogenen:

was sich die triviale Lösung. Um nicht-triviale Lösungen, wenn und zwei linear unabhängige Lösungen dieser Gleichung dann auch zu erhalten:

Lösung zu den jeweiligen Wert der Konstante. Genauer gesagt, sind von einer solchen Form alle Lösungen der homogenen Gleichung zugeordnet ist. Da die Differenz von zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung muß eine Lösung der homogenen Gleichung sein, um die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung genügt es, eine bestimmte Lösung zu finden, und fügen Sie dann die generische Lösung der homogenen Gleichung verbunden ist, ist zu finden:

Statt, die die parametrische Familie aller Lösungen der Gleichung nicht homogen aufgefordert, den Gleichung mit zugeordneten Ausgangswerten zu lösen. Die Cauchy-Problem habe ich dargelegt hat die Form:

und diese beiden Bedingungen werden verwendet, um die Werte der willkürlichen Konstanten zu der bisherigen Lösung der Gleichung verbunden zu bestimmen ist nicht homogen, so dass eine spezielle Lösung, die das Anfangswertproblem verifiziert erhalten.

Gleichungen mit konstanten Koeffizienten

Die zugehörige homogene Gleichung

Die zugehörige homogene Gleichung hat die Form:

wo und konstante Koeffizienten-Daten. Seine Auflösung, um eine Lösung des Typs zu suchen:

Einsetzen dieses Ausdrucks in der vorherigen homogenen Gleichung, Ableitung und Hervorhebung:

Da die exponentielle niemals verschwindet, verschwindet diese Gleichung, wenn und nur wenn:

Wenn die Wurzeln real sind und unterscheidbar, dh dann wird die Lösung von der Art ist:

Wenn sie echt und koinzident bzw. sind, dann wird die Lösung von der Art ist:

während, wenn sie komplexe und Konjugat, oder dann kann es als Real- und Imaginärteil getrennt betrachtet werden, sind:

Der komplette Gleichung

Der komplette Gleichung hat die Form:

Um festzustellen, die Lösungen nur auf die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung mit einer bestimmten Lösung des inhomogenen assoziiert hinzuzufügen. Eine solche Lösung kann insbesondere mit dem Verfahren der Änderung der Konstanten oder seien einige spezielle Fälle gefunden werden:

  • Wenn, die ein Polynom vom Grad ist, suchen wir nach einer bestimmten Lösungstyp, wo es ist eine formale Polynom in gleichem Maße. Wenn jedoch eine Lösung des zugeordneten homogenen, dann müssen Sie nach einer Lösung der Art, zu suchen.
  • Zu prüfen, wo ein Polynom des Grades. Wenn es eine Wurzel der Gleichung dann können Sie für eine bestimmte Lösung des Typs aussehen:
  • Zu prüfen, oder, oder, wo sie Konstanten angegeben. In diesem Fall ist es nicht eine Wurzel der Gleichung dann können Sie für eine bestimmte Lösung des Typs aussehen:
  • Betrachten oder oder sogar, wo sind Polynome. In diesem Fall ist es nicht eine Wurzel der Gleichung dann können Sie für eine bestimmte Lösung des Typs aussehen:
  • Wenn für die Linearität der Gleichung können getrennt gelöst werden:

Gleichungen mit variablen Koeffizienten

Die zugehörige homogene Gleichung hat die Form:

wo und stetige Funktionen sind in einem Abstand von der reellen Achse. Seine Entschließung ist es, eine Lösung der Form zu suchen:

Angesichts der vollständigen Gleichung:

in diesem Fall kann man die Variation der Parameter. Wir suchen eine Lösung des gleichen Typs wie dell'omogenea Berücksichtigung Konstanten als Funktionen ein:

wobei und zwei unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung zugeordnet ist. Da und sind bekannt und Funktionen und Unbekannte sind, muß die letztere so bestimmt werden, dass sie den vollen Gleichung erfüllt. Auch, weil die Funktionen zu bestimmen sind zwei, können Sie eine zweite Bedingung auf und Zuneigung zu verhängen. Sie wählen:

so differen zweimal und mit diesem Bericht, müssen Sie:

Einsetzen von Gleichung ist abgeschlossen, wenn:

Es ist ein System in der Unbekannten und:

Einmal abgerufen und werden erhalten, und. Schließlich ist die Lösung:

und das ist komplett:

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