Logarithmus

In der Mathematik ist der Logarithmus einer Zahl in einer gegebenen Basis der Exponent dem die Base muß hoch, um die Zahl selbst erhalten.

Beispielsweise der Logarithmus zur Basis ist, da er bei der dritten Potenz zu erhalten, das heißt angehoben. Allgemeiner, wenn, dann ist es der Logarithmus zur Basis, oder in mathematischer Notation

Die Napier Logarithmen wurden von Anfang 1600 eingeführt, und bald fand Anwendung in Wissenschaft und Technik, vor allem als ein Werkzeug, um Berechnungen mit sehr großen Zahlen, dank der Einführung von Logarithmentafeln vereinfachen.

Die Funktion ist die inverse Funktion zur Potenzierung beruht, dh.

Es ist unerlässlich, den natürlichen Logarithmus oder Logarithmus der auf der Eulerzahl basiert; ist der Kehrwert der Exponentialfunktion.

Definition

Es definiert Logarithmus zur Basis einer Zahl in dem Exponenten zu erwirken kann. In anderen Worten, wenn

Sie schreiben, dass

.

In der Gleichung der linken Seite ist die Antwort auf die Frage "In welchem ​​muss Zahl erhöht werden, um zu bekommen?".

Definiert werden, muss die Basis eine positive reale Zahl verschieden sein und muss eine positive reelle Zahl. Diese Annahmen sind notwendig, um sicherzustellen, dass der Logarithmus existiert und eindeutig. In der Tat:

  • Wenn sie nicht vorhanden sind, so dass.
  • Und wenn, gibt es unendlich viele.
  • Wenn es nicht vorhanden ist ..
  • Und wenn, gibt es unendlich ..
  • Wenn wird Potenzierung nicht für alle reellen Zahlen definiert.
  • Das Ergebnis einer Potenzierung eine positive Zahl ist, so muss es sein.

Beispiele

Zum Beispiel, warum.

Die Logarithmen kann auch negativ sein. Tatsächlich

, weil.

Eigenschaften der Logarithmen

Aus den Berichten und die gültig sind unabhängig von der Basis, leiten die grundlegenden Eigenschaften:

Darüber hinaus folgt die Definition, dass:

Produkt, Quotient, Macht und root

Eine der wichtigsten Eigenschaften der Logarithmen der Logarithmus des Produktes der beiden Zahlen ist die Summe der Logarithmen der beiden Zahlen selbst. Ähnlich wird der Logarithmus des Quotienten zweier Zahlen nicht mehr als die Differenz zwischen den Logarithmen der gleiche. Mit anderen Worten gelten

Demonstration

Der Logarithmus wird definitionsgemäß der Exponent ist, ist an die Basis gelegt, um als Ergebnis zu erhalten:

Wenn wir schreiben:

Mit den Regeln des exponentiellen:

Anwenden des Logarithmus auf beiden Seiten:

Sein Wert ist selbstverständlich der gleiche Exponent:

Demonstration

Wenn wir schreiben:

Mit den Regeln des exponentiellen:

Anwenden des Logarithmus auf beiden Seiten:

Sein Wert ist selbstverständlich der gleiche Exponent:

Darüber hinaus ist der Logarithmus einer Zahl in einer bestimmten Potenz gleich durch den Logarithmus der Zahl selbst multipliziert. Daraus folgt, daß der Logarithmus der j-ten Wurzel einer Zahl ist gleich der Inversen der Logarithmus der Zahl, und daß der Logarithmus des Kehrwerts einer Reihe ist das Gegenteil von dem Logarithmus der Zahl selbst. Mit anderen Worten gelten Formeln:

Demonstration

Wenn wir schreiben:

Mit den Regeln des exponentiellen:

Das heißt, es ist der Exponent zur Basis zu erhalten, gegeben werden, ist, dass durch Logarithmen:

Basiswechsel

Bekannte den Wert eines Logarithmus in einer Basis, ist es einfach, den Wert von einer anderen Basis berechnen.

Wenn ,, und sie sind alle positiven reellen Zahlen:

wobei k eine beliebige Base. Die Formel kann in folgender Weise geschrieben werden

und im Anschluss an den Bericht

Aus der Formel von der Änderung der Basis, platzieren, erhalten wir die folgende Beziehung:

Grundlagen des Logarithmus

Obwohl im Prinzip die Logarithmen kann jederGrund positive und anders berechnet werden, aus, die am meisten verwendet werden, sind drei:

  • Basis 10 verwendet, um die Operation zu berechnen; sie ist von log10 mit Log bezeichnet allgemeiner mit Log, seltener.
  • Grundlage und im Kalkül verwendet; sie wird durch ln mit log bezeichnet, seltener.
  • Basis 2, vor allem bei der Analyse der Rechenkomplexität verwendet, in der Codierungstheorie und Signaltheorie; sie wird von log 2 mit log angegeben, seltener.

Geschichte

Das Verfahren Logarithmen wurde von der schottischen Napier im Jahre 1614 vorgeschlagen, in einem Buch mit dem Titel Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Jost Bürgi unabhängig erfunden Logarithmen, aber veröffentlichte seine Ergebnisse sechs Jahre nach Napier.

Für aufeinanderfolgende Subtraktion, geschätzt Napier in sein; das Ergebnis ist ungefähr, also. Nepero dann aus berechnet er das Produkt dieser Zahlen zu, mit. Diese Berechnungen, die 20 besetzt ist, ermöglichte ihm zu finden, für jede ganze Zahl von 5.000.000 bis 10.000.000, die Zahl, die die Gleichung löst

Napier zunächst als diesen Wert eine "künstliche Nummer" aber später prägte den Begriff "Logarithmus", vom griechischen Wort "Logos", Proportion und "arithmos" Nummer. Mit Hilfe eines modernen Notation erlaubt die Euler Berechnungen ihn zu berechnen,

wobei die Annäherung erreicht, entspricht der folgenden:

Die Erfindung von Napier war sofort viel beachteten: das Werk von Bonaventura Cavalieri, Edmund Wingate, Xue Fengzuo und Johannes Kepler erlaubt, schnell verbreitet die Idee.

Im Jahre 1647, verknüpft die flämische Grégoire de Saint-Vincent Logarithmen Quadratur Übertreibung, die zeigen, dass die Fläche unter einem erfüllt

Der natürliche Logarithmus wurde zuerst von Nicholas Mercator in ihrer schriftlichen Logarithmotechnia im Jahre 1668 veröffentlicht wurde, beschrieben, wenn auch bisher der Mathelehrer John Speidell hatte einen Tisch des natürlichen Logarithmus im Jahre 1619 zusammengestellt.

Um 1730, definiert Euler die Exponentialfunktion und den Logarithmus Funktion als

Euler zeigte auch, dass diese beiden Funktionen waren inverse Vorgänge.

Logarithmentafeln und historischen Anwendungen

Vereinfachung komplexer Berechnungen beigetragen Logarithmen in hohem Maße an den Fortschritt der Wissenschaft und vor allem die Astronomie. Das Instrument, das die praktische Verwendung erlaubt waren die Logarithmentafeln. Die erste von ihnen wurde von Henry Briggs im Jahre 1617 kurz nach der Erfindung des Napier abgeschlossen. Anschließend wurden weitere Tische für verschiedene Zwecke und Genauigkeit geschrieben werden. In ihnen ist es aufgeführt wurde Wert und für jede Zahl in einem bestimmten Bereich, mit einer Präzision und mit einer Base ausgewählt fixiert. Zum Beispiel die Tabelle von Briggs enthielt den Logarithmus zur Basis aller Zahlen von bis, mit einer Genauigkeit von acht Dezimalstellen. Funktion aufgrund des inversen Logarithmus Antilogarithmus aufgerufen wurde.

Das Produkt und der Quotient der beiden Zahlen und wurden somit jeweils die Summe und die Differenz der Logarithmen berechnet. Das Produkt ist der Antilogarithmus der Summe der Logarithmen, und:

Der Quotient der Antilogarithmus der Differenz der Logarithmen und:

Komplexe Berechnungen mit einer guten Präzision diese Formeln sind viel schneller als die direkte Berechnung oder der Verwendung der bisherigen Verfahren, wie dieser Prosthaphaeresis auszuführen.

Auch die Berechnung von Potenzen und Wurzeln wurde vereinfacht, um die Multiplikation und Division der Logarithmen reduziert:

und

Logarithmus

Logarithmusfunktion ist die Funktion

Die Funktion wird auf die halbe Zeile definiert. In der Figur sind diese drei Beispiele der Logarithmusfunktion mit unterschiedlichen Werten für die Basis gezogen. Die rote Kurve ist für die Basisfunktion mit konstanter Nepero Wie aus dem Graphen, der Bereich der Existenz und damit der Definitionsbereich der Funktion Logarithmus ersichtlich ist, ist innerhalb der Bereiche zwischen, während der Wertebereich, in dem zusammen die Werte variieren ist es. So verstehen Sie, dass Sie arbeiten können und nur die Funktionen, die den Logarithmus Argument genauer an haben verifiziert.

Derivat

Logarithmusfunktion differenzierbar ist und ihre Ableitung ist die folgende:

wobei ln der natürliche Logarithmus ist, ist, dass mit der Basis. Insbesondere ist die folgende Beziehung kritisch in der Infinitesimalrechnung:

Demonstration mit der Umkehrfunktion

Gleichberechtigung kann unter Verwendung der Umkehrregel gezeigt werden:

Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist die Exponentialfunktion, deren Ableitung fällt mit sich:

Daraus folgt:

Demonstration definitions

Sie können direkt die Definition der Ableitung:

und unter Hinweis auf die große Einschränkung des Protokolls erhalten Sie:

Konvexität und Konkavität

Die zweite Ableitung der Funktion Logarithmus

Wenn dieser Wert immer negativ ist und die Funktion ist dann konkave Funktion. Wenn statt es immer positiv ist und die Funktion konvex ist.

Integral

Der Logarithmus Funktion stetig und damit integrierbar. Die integrale Funktion des Logarithmus mit generischen Basis, ist:

wobei der generische Integrationskonstante.

Analytische Funktion

Die Log-Funktion ist analytisch. Es ist jedoch nicht möglich, beschreiben Sie die Funktion aller seiner Domäne mit einem einzelnen Potenzreihen: die Entwicklung in einem Punkt zentriert hat in der Tat den Konvergenzradius und wird dann nur im Bereich angenähert. Zum Beispiel in der Entwicklung ist, wie folgt:

Komplexe Logarithmus

Der Logarithmus-Funktion kann auf komplexe Zahlen verschieden von Null erweitert werden; für den Fall, es ist eine natürliche Logarithmus mit komplexen Argument gilt auch für die folgende Formel

wobei die imaginäre Einheit und das Thema. Die komplexe Logarithmus ist eigentlich eine Funktion, um mehrere Werte, durch die Integer-Parameter bestimmt.

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