Lyapunov Exponenten

Lyapunovexponenten eines dynamischen Systems in einem Schadens weisen ein Maß dafür, wie stark die Umlaufbahnen des Systems ist abhängig von den Ausgangsdaten und sind daher Indikatoren für das Vorhandensein von chaotische Dynamik. Was sie zu messen, ist insbesondere der mittleren Geschwindigkeit der Entfernung der Bahnen der Punkte in der Nähe der Umlaufbahn und für eine ausreichend lange Zeit. Genauer: auf einen Punkt mit einer Anzahl von Lyapunov zugeordnet Exponenten gleich der Dimension des Raumes, und wenn der maximale Lyapunov-Exponenten ist und der euklidische Abstand zwischen einem nahen Punkt und ist recht klein ist, wird dieser Abstand eine Entwicklung in der Zeit haben, dass große Zeit zu sein. Wir schließen, daß, wenn der maximale Lyapunov-Exponent des Systems positiv ist, dann hat das System eine empfindliche Abhängigkeit von den anfänglichen Daten und ist daher chaotisch.

Dimensional Karten

Definition

Und ist eine differenzierbare Funktion, und betrachten die getrennter dynamisches System durch die Iteration der Karte angegeben.

Wir definieren die Lyapunov Exponent der Punkt der Umlaufbahn, die wie

oder äquivalent als

wo der Grenzwert existiert.

Erläuterung

Um die Gründe für diese Definition, die wir die folgenden Beobachtungen zu verstehen:

1) Die Ableitung einer Punkt sagt uns die Geschwindigkeit, mit der die am nächsten liegenden, sich nach einer Iteration bewegt haben: Wenn der anfängliche Abstand zwischen zwei Punkten am nächsten ist, nach dem Aufbringen der das wird, nämlich:

2) Das Produkt gibt uns die Ableitung an der Stelle der Iteration, die uns die Geschwindigkeit, mit der die am nächsten liegenden, sich nach mehrfacher Anwendung genauer bewegt haben berichtet, wenn der anfängliche Abstand zwischen zwei Punkten am nächsten ist, nach dem Aufbringen dieser wird, oder

können wir als zu schreiben

Aus diesen Beobachtungen schließen wir, dass wenn es die Grenze für die Quantität dann für eine sehr lange Zeit hatte, dass der Abstand zwischen zwei Bahnen in der Nähe mit einem Multiplikationsfaktor etwa gleich gehalten werden.

Mehrdimensionale Karten

Für eine differenzierbare Abbildung und einer seiner Umlaufbahn können Sie Lyapunovexponenten, die die Geschwindigkeit der Trennung zu messen aus der Umlaufbahn in orthogonalen Richtungen, so dass entlang der Richtung th die Abstände zwischen den Punkten in der Nähe der Umlaufbahn zu entwickeln sowie große definiert werden. Die erste Richtung wird die eine, bei der diese Geschwindigkeit maximal ist, der zweite wird als diejenige der maximalen Geschwindigkeit in dem Satz von orthogonalen Richtungen zu der ersten so gewählt werden, und so weiter. In den Richtungen, die lineare Kombinationen der beiden Richtungen mit Lyapunov-Exponenten zugeordnet sind verschiedene Trenngeschwindigkeit Stabilität Lyapunov Exponenten größer.

Definition

Wir definieren die Lyapunov Exponent mit einem Punkt und eine Richtung wie die Geschwindigkeit des Trennmediums von einer Stelle nahe dem Träger, so dass die Verbindungslinie zugeordnet ist, die Richtung:

Nachdem der Abstand zwischen den Iterationen und ursprünglich wurde, war ungefähr wird die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit für jeden Schritt durch wobei der Einheitsvektor der Richtung gegeben. Wenn der Logarithmus betrachten kann man sagen, dass das System entwickelt hat, so daß der Anfangsabstand geworden. Wir jedoch eine endliche Anzahl von Schritten über gemittelt, wenn man den gesamten Trajektorie betrachten wir die Lyapunov Exponent der Richtung wie die exponentielle Wachstumsmedium wie folgt definieren:

Aus dieser Definition folgt, daß, wenn der Träger der Fügerichtung so ist der Abstand so groß entwickelt.

An dieser Stelle könnte man sich fragen, was in der Tat der Wert kann, wenn man verschiedene Richtungen variieren. Was zeigt, daß in der Tat kann höchstens eine Anzahl von Werten gleich der Abmessung des Zwischenraumes und das für nahezu alle Raumpunkte annehmen, den gleichen Wert: den Maximalwert.

Beispiel

Es ist lehrreich zu sehen, was passiert, wenn die lineare Näherung gleich bleibt. Wir betrachten den getrennter dynamisches System durch die Iteration der Karte Matrix mit den Eigenwerten angegeben.

Bei der n-ten Schritt werden wir, dass dann der Anfangsabstand geworden.

Wenn der Träger mit nell'autospazio dann verbunden.

Wenn der Träger eine Komponente, die nicht mit irgendetwas nell'autospazio verbunden ist, dann können wir als eine lineare Kombination exprimieren

wo eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Deshalb

um eine Vorstellung davon, was der Durchschnittsfaktor der Expansion für jeden Schritt können wir die Grenze des geometrischen Mittels Berechnung erhalten

dass die obige Berechnung ist offensichtlich gleich. So ist der Abstand zu entwickeln für längere Zeit als. Dies bedeutet, dass alle Punkte in der Nähe, für welche der Träger eine Verbindungskomponente nicht über eine Geschwindigkeit entlang nichts asymptotischen mittleren Abstand von nur durch die maximal der Eigenwerte bestimmt wird. Berechnung Lyapunov Exponenten auf der Basis der etablierten Beziehungen über sie gibt uns
.

Ein ähnliches Argument kann gezeigt werden, dass, wenn der Träger orthogonal all'autospazio seiner maximalen Eigenfüge, sondern eine Komponente nichts gegenüber dem zweiten größten Eigen dann Lyapunov Exponent mit dieser Richtung verbunden. Ganz allgemein sind die Lyapunov Exponenten in der Richtung durch den Logarithmus des maximalen Eigenwert einem Eigen bezüglich zugeordnet angegeben werden, um die nicht orthogonal.

Intuitive Vorstellung

Um das Konzept sehen kann als eine unendlich kleine Kugel um den Punkt der Umlaufbahn werden diese nach jeder Iteration der Karte in ein Ellipsoid als das Bild der Kugel durch die Anwendung von linearen Jacobi gegebenen erhalten verformt. Das Ellipsoid gibt uns Informationen über die lokale Verhalten der Karte, insbesondere auf die Richtungen, in denen es schrumpft oder dehnt sich mehr Platz. Dieses Ellipsoid ist die Möglichkeit, die Hauptbereiche der Richtungen der Kontraktion oder Expansion entsprechen identifizieren. Bei jeder Iteration die lineare Transformation ist jedoch verschieden, und so auch die Eigenvektoren und Eigenwerte und dann werden die Achsen und die Form des Ellipsoids. Jedoch Theorem Oseledec gewährleistet, daß für nahezu jede Stelle die Wirkung der linearen Transformationen frei Differentiale, gemessen entlang der Bahn, im Durchschnitt dazu neigen asymptotisch äquivalent zu der Wirkung der gleichen Matrix mit den Eigenwerten, deren Logarithmen geben Lyapunovexponenten sein und deren Eigenvektoren geben die Richtungen der Expansion und Kontraktion entsprechend den Achsen eines Ellipsoids "mittel".

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