Maßraum

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Februar 29, 2016 Tobi Lemm M 0 10

In mathematischen Analyse ein Maß der Raum eine abstrakte Struktur verwendet, um das Konzept der Messung zu formalisieren, als eine Verallgemeinerung der elementaren Ideen der Länge einer Kurve oder einen Bereich einer Oberfläche.

Definition

Es definiert Fläche beträgt einen messbaren Raum mit einem auf der σ-Algebra definiert positive Maßnahme besteht aus messbaren Teilmengen. Ein solcher Raum ist mit einem Bagger dargestellt.

Wenn der Platz ist ein Raum Borel meßbar, manchmal Lückenvermessung ist die Borel-Maß Raum. Bei einem Maßraum, in der Regel ist es bezeichnet die Gesamtänderung aus.

Wenn der Raum wird gesagt, um zu messen, fertig. Wenn Sie kann auch als eine zählbare Vereinigung von Mengen geschrieben werden:

Messen über, das heißt, derart, dass dann der Meßraum ist σ endlichen gesagt.

Wahrscheinlichkeitsraum

Eine Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maß Raum, so dass für jeden. In diesem Zusammenhang wird gesagt Wahrscheinlichkeitsmaß. Per Definition, folgt ein Wahrscheinlichkeitsraum ist immer ein Raum von mehr als.

Die Struktur der Wahrscheinlichkeitsraum wurde von Andrey Nikolaevich Kolmogorov in den dreißiger Jahren eingeführt, als Teil einer Reihe von Werken russischer Mathematiker, der den Grundstein für die gesamte Theorie der Wahrscheinlichkeit festgelegt.

Abschluss einer Maßraum

Ein Maß Raum der vollständig, wenn jeder in einer Nullmenge enthaltene Menge ist messbar. In der Regel von einem praktischen Standpunkt aus gesehen, ist es bequem, Räume komplett zu nutzen. Da jedoch ein Maß Raum nicht voll ist, kann man immer erweitern, um einen vollständigen Raum in der folgenden Weise.

Ob eine Maßnahme Raum. Es gibt keine einzelne Maßnahme Raum vollständig, die Fertigstellung, auf dem gleichen Satz mit den folgenden Eigenschaften:

  • die σ-Algebra ist feiner.
  • das Maß beschränkt, um mit zusammenfallen, dh für messbare Teilmenge passiert.
  • wenn es ein anderer Raum mit einer solchen Eigenschaft ist, dann ist es feiner.

Selbstverständlich, wenn sie vollständig ist, wird sie mit ihrer Fertigstellung einstimmt. Im Allgemeinen ist es möglich, explizit konstruieren die Fertigstellung einer Fläche ist nicht vollständig. Hier erläutern wir die Vorgehensweise.

Betrachten Sie die Menge aller in Nullmengen enthalten Sätze. Sowohl die kleinste σ-Algebra, die sowohl Elemente, die denen von. Da die Gewerkschaft und der Schnittpunkt der zählbaren vernachlässigbare Mengen vernachlässigbar ist, ist es leicht zu sehen, dass jedes Element durch ein Element der Verbindung oder Subtrahieren einer vernachlässigbaren Satz erreicht werden. Es wird dann ausreichend, um zu einer neuen Maßnahme einfach dadurch zu verlängern.

Ein bemerkenswerter Fall ist, dass der Raum des Lebesguemaß, die die Fertigstellung des Raumes Borel ist.

Die Kategorie der Räume Mess

Der Satz von den Messräumen bilden eine Kategorie, in der Morphismen werden von messbaren Funktionen, die die Maßnahme zu erhalten gegeben. Genauer gesagt, bei zwei Räumen der Messung wird eine morphism natürlich mit einer Funktion, so dass verbunden:

  •  sowohl -misurabile.
  • Für jede Menge passiert.

Insbesondere die beiden Räume der Maßnahme sagen sie isomorph, wenn es eine bijektive Funktion messbar und mit messbaren inverse, so dass für jeden passieren.

Bei einem Messraum, und zwei Schritte auf sie, sagt, dass es in Bezug absolut stetig, ob jeder Satz die Null Maßnahme hat als null Maßnahme auch über: Zwei Maßnahmen absolut stetig zueinander äquivalent sind.

Isomorphismen von Messräume

Aus dem Satz von Radon-Nikodym Sie dann erarbeiten die nächsten Präposition: sind beide Räume der σ-endliches Maß auf der gleichen Messraum gebaut. Wenn sie gleichwertig sind, dann sind die beiden Räume sind isomorph.

Anwendungen

  • Natürlich ist die Anwendung des Konzepts des natürlicheren Maßraumes hat seine eigene in der Theorie der Messung, da es eine grundlegende Aufgabe der Theorie darstellt.
  • Wenn es sich um ein Messraum und eine Halbgruppe, ist eine Aktion messbaren auf eine Familie von Karten, sodass für jedes messbar. Eine konservative dynamisches System ist ein Vierbettzimmer, wo ein Maßraum und Maßnahmen ist messbar an einer Halbgruppe, die die Maßnahme bewahrt: für jeden. Die Theorie dynamischer Systeme ist konservativ -trotz ihrer generalità- sehr reich. Von ihm können Sie beispielsweise abzuleiten mit Einfachheit und Allgemeinheit viele der Eigenschaften der klassischen Mechanik. In der Tat, sind die Hamilton-Systeme der Klasse konservativen dynamischen Systemen.

Beispiele

  • Das Trio, das die eigentliche Linie, ist seine σ-Algebra boreliana und ist die Borel-Maß ist ein Maß Raum Borel. Dies ist keine endlichen Raum, dadurch gekennzeichnet, dass das Maß für die gesamte reale Linie ist unendlich. Jedoch ist dieser Raum σ-endlich, da jede Art von Intervall messen, und.
  • Der Dreiklang, wo die σ-Algebra der Lebesgue und ist das Lebesgue-Maß ist nicht ein Maßraum Borel. Diese Maßnahme Raum ist auch σ Zeug, aus dem gleichen Grund wie oben beschrieben.
  • Die diskreten Raum mit der Konvention, daß jede Teilmenge messbar ist und die Messung von einer Untergruppe ist gegeben durch Es ist ein Raum von probabilià.
  • Wenn es ein Raum der endliches Maß ist, dann können Sie ein Wahrscheinlichkeitsraum durch die Einführung der Maßnahme zu erhalten.
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