Orthogonaltransformation

In der Mathematik, genauer gesagt in der linearen Algebra, eine orthogonale Transformation eine lineare Transformation eines euklidischen Raum, der das Skalarprodukt bewahrt.

Eine orthogonale Transformation durch eine orthogonale Matrix ausgedrückt werden. Eine orthogonale Transformation ist immer eine Isometrie. Auf der anderen Seite ist jeder Isometrie Fixieren der Quelle eine orthogonale Transformation.

Definition

Ob einem euklidischen Raum, das ist ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt definiert positive ausgestattet. Eine orthogonale Transformation eine lineare Transformation, die das Skalarprodukt bewahrt. Das gilt für die Beziehung:

für jedes Paar von Vektoren.

Eigenschaft

Isometrische

Eine orthogonale Transformations bewahrt die Norm eines Vektors:

Allgemeiner gesagt, bewahrt die Transformation des Abstandes:

In anderen partole, ist eine orthogonale Transformation eine Isometrie.

Nicht alle Isometrien sind orthogonalen Transformationen: zum Beispiel die Translationsbewegung eines Vektor-Set nicht null ist:

eine Isometrie, die nicht zu beheben nicht die Herkunft, und ist daher nicht eine orthogonale Transformation.

Auf der anderen Seite ist jeder Isometrie Fixieren der Quelle eine orthogonale Transformation. Also jedes Isometrie ist eine Komposition aus orthogonalen Transformation und Übersetzung.

Assoziierten Matrix

Die Matrix einer orthogonalen Transformation mit Bezug auf eine orthonormale Basis verbunden ist, eine orthogonale Matrix, dh eine quadratische Matrix, so dass:

Gruppe

Die Anwendungen orthogonale Form einer Gruppe mit dem Betrieb der Zusammensetzung von Funktionen. Diese Gruppe ist isomorph zu der orthogonalen Gruppe von allen orthogonalen Matrizen gebildet.

Verallgemeinerungen

Willkürliche Skalarprodukt

In der Definition der orthogonalen Transformation, haben einige Autoren nicht vor, dass das Skalarprodukt als erfolgreich definiert. Mit dieser Konvention, zum Beispiel, ist eine Lorentz-Transformation eine orthogonale Transformation der Minkowski-Raum, dessen Skalarprodukt hat Zeichen.

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