Paradox dieser Hüllen

Das Paradoxe dieser Hüllen ist aus einer logisch-mathematische Argumentation scheinbar makellose, was zeigt, abgeleitet, dass zwischen zwei Umschläge verschiedener Wert, sondern erklärte äußerlich nicht zu unterscheiden, sobald Sie eine der beiden sollte noch ändern gewählt haben.

In der Tat, wie intuitiv, der erwartete Gewinn aus einem Austausch der Umschläge im letzten Moment sollte im Mittel Null sein, aber in der beschriebenen Situation ist ziemlich dünn zu identifizieren, ob die Aussage falsch ist, logisches Denken und Intuition.

Die Analyse dieses Paradox verweist auf die Einschätzung nicht immer trivial Wahrscheinlichkeit, über die Grenzen der Hypothese der Gleichwahrscheinlichkeit Veranstaltung mit unbekannten Ursachen bedingt.

Situation

In einer hypothetischen Game-Show, präsentiert der Kandidat zwei verschlossene Umschläge mit jeweils Details eines Geldpreis, wird der Teilnehmer zu erhalten, wenn Sie es zu wählen. Es ist bekannt, daß die in einer Umhüllung angegebene Wert ist genau zweimal die des anderen, aber es ist nicht bekannt, welche der beiden die großen Preis enthält.

Der Teilnehmer kann den Preis von einem Umschlag erhalten, aber er ist die Möglichkeit, die endgültige Entscheidung nach dem Öffnen einen Umschlag am Willen und haben den Wert gesehen machen gegeben.

Paradoxie

  • Es scheint klar, dass:
    • es gibt keinen Unterschied in der Wahl der einen oder der Umhüllung vor dem Öffnen.
    • Die Kenntnis des Wertes eines Umschlags fügt Informationen zu der Frage, ob diese größer oder kleiner ist als die andere.
  • Doch die Anwendung der Theorie der Entscheidungen, erreichen wir den paradoxen Ergebnis, dass es immer bequem, die anderen Hüllkurve zu wählen.

Wir schließen, dass Umschlag sollte immer zu ändern, unabhängig von dem Wert, die wir in dieser Wahl zunächst. Das scheint absurd.

Wenn es wirklich absurd die Behauptung, dass Sie immer zu ändern, bleibt das Problem der Identifizierung der Trugschluss des Arguments nur vorgestellt.

Lösung

Die Begründung beruht auf zwei Bedingungen:

  • Wahrscheinlichkeit von 50% für den Fall und gleich günstig für das Gegenteil,
  • Kenntnis des Wertes des Premium-Inhalte in einen Umschlag.

Diese Annahmen würde sowohl an sich korrekt, aber sie sind nicht zur gleichen Zeit.
In der Tat sie sich auf zwei verschiedene Fälle:

Fall 1 - versiegelte Umschläge, kein Paradox

  • Wir nennen X und Y je niedriger die Prämie höhere Prämie. Die Werte sind nicht bekannt, aber man weiß, daß Y ist doppelt so X und verteilt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen den beiden Hüllkurven werden.

Wenn Sie den ersten Umschlag mit X zu öffnen, würde Y sein ändern, mit einer Verstärkung gleich YX = X.

Wenn Sie den ersten Umschlag mit Y zu öffnen, würde X sein ändern, dieses Mal mit einem Nettoverlust von YX = X.

Du siehst, dann ist die Verstärkung und der Verlust gleich und gleich wahrscheinlich, da war es, intuitiv zu sein.

Fall 2 - ein offener Briefumschlag

  • Um den Wert in den Umschlag geöffnet gefunden nennen. Dieses Mal der Sieger kann nur A und der Verlust nur A / 2 sein. Aber wir können nicht mit Sicherheit sagen, dass die Chancen zwischen den beiden Fällen die gleiche ist.

Sie hängt stark von dem Wert von A, in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Belohnungen. Intuitiv könnte man sagen, dass, wenn wir eine hohe Prämie, sollten wir zufrieden sein, und wenn wir eine niedrige Prämie, müssen wir uns auf die andere tastete Umschlag.

Mit anderen Worten, hängt alles vom Kriterium, nach dem die Auszeichnungen wurden ausgewählt, um in die Umschläge enthalten sein, und was ist die maximale Auszeichnung möglich.

Top-Preis definiert

Nehmen wir beispielsweise, dass die Prämie größer in den Umschlägen wurde zufällig zwischen null und 2 Millionen ausgewählt, als der Maximalwert ist. Folglich wird der kleinere Gewinn zwischen Null und einer Million ist, mit der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Unter diesen Bedingungen, wenn der Wert in der ersten Hülle zu finden ist weniger als eine Million haben eine gute Chance, im Gegenzug zu gewinnen.

Aber natürlich, würden wir die Sicherheit einer Verlust haben, wenn wir geändert wird, wenn A grßer als eine Million!

Wenn wir beschließen, trotzdem ändern, würden wir feststellen, dass unter dem Strich gut gemacht, der erwartete Wert der Verstärkung wäre genau Null sein. Tatsächlich korrekt berechnet den Wert der Verlust für die Wahrscheinlichkeit des Verlierens, ist es ein Ergebnis ist gleich dem Wert der Verstärkung für die Chance zu gewinnen.

Auch in diesem Fall das Paradox verschwindet. Die anfängliche Überlegung nicht anwendbar ist, da es keine Rücksicht auf die maximale Prämien noch die daraus resultierende unterschiedliche Wahrscheinlichkeit der Wahl für den ersten Preis Umschlag mit mehr oder weniger mit der Auszeichnung erfolgt.

Keine Begrenzung für die Premium-

Wenn wir nicht den Maximalwert der Auszeichnung nicht feststellen, stillschweigend zugeben, dass wir, dass es theoretisch unendlich sein. Beibehaltung der Hypothese, dass die Auszeichnungen wurden zufällig ausgewählt worden ist, mit gleichmäßiger Verteilung verbleibt es mathematisch gültige die Schlussfolgerung, die sich ändern sollte, wenn der Wert in der ersten Hülle gefunden kleiner als die Hälfte der maximalen und das ist nicht praktisch nichts anderes.

Aber dieses Mal, wenn die maximale unendlich ist, ist sogar die Hälfte der maximalen unendlich und da Vergleiche zwischen unendlichen Größen folgen nicht genau die Regeln der Vergleiche zwischen endlichen Größen, bleibt das Paradox und kann einfach durch die Erinnerung, dass oft die unendliche erklärt werden Es verhält sich in einer paradoxen Weise, oder besser, so unlogisch.
In diesem Fall wird beispielsweise jeder beliebige Wert für das Öffnen der ersten Hülle finden könnten, wäre es sicherlich geringer als die Hälfte der maximal zu sein, und dann würden wir eine gute Chance Verstärkung in der Übertragungs haben. In der Praxis können wir uns nie vorstellen, einen Umschlag mit einen unendlichen Wert zu finden, oder ob es sinnvoll wäre, dass Wert kleiner oder größer als die Hälfte der maximal ist. Daher völlig zu vernachlässigen, um die Belastung durch diese theoretische Möglichkeit zählen, und wir schließen, dass es sich immer lohnt, zu ändern.

Statt dessen auch in diesem Fall per saldo gut gemacht, die Wahl zu ändern, "immer" beinhaltet einen erwarteten Gewinn null, wenn du gebührend berücksichtigt das Gewicht Verluste unendlich.

Historische Anmerkung

Eine ähnliche Formulierung, um dieses Paradoxon geht mindestens bis 1953, als ein belgischer Mathematiker, Maurice Kraitchik schlug dieses Rätsel:

Zwei Personen, ebenso reich gekommen, um den Inhalt ihrer Portfolios zu vergleichen, das weder kennt die genaue Inhalt. Stellen Sie das Spiel auf diese Weise: diejenigen, die weniger Geld im Portemonnaie haben wird das ganze Geld im Portfolio des anderen zu empfangen.

Einer von ihnen kann auch denken: Nehmen wir an, ich habe eine Reihe in meiner Brieftasche: Das ist das Maximum, das ich verlieren könnte. Wenn ich gewinne am Ende werde ich in meinem Portfolio Wert sicherlich mehr als 2A haben. So dass das Spiel ist günstig für mich.

Die andere kann in genau der gleichen Weise zu denken. In der Tat, durch Symmetrie, ist das Spiel selbst. Wo ist der Fehler in der Begründung eines jeden Menschen?

Martin Gardner popularisiert das Puzzle in seinem 1982 Buch Aha! Gotcha, wieder mit einer Wette auf das Portfolio. 1989 Barry Nalebuff präsentiert sie in Form dieser Hüllen und seitdem, das ist die am häufigsten verwendete Form.

Mathematische Erkenntnisse

Fall 1

Vor dem Öffnen der Umschläge, richtige, um einen Umschlag Wahrscheinlichkeit von 50%, die den Hauptpreis zuzuordnen ist.

Aber es läuft Gefahr, einen Fehler zu machen, wenn Sie einen Wert in die Premium-X zuzuordnen, und wenn wir denken, einer Zeit wie dieser X war der größte Preis, aber dann das gleiche wie wenn X war die kleineren Preis.

Es kann immer noch zu vermeiden, die Analyse der Zufallsvariable X, einfach durch die Zuweisung von Werten an die beiden Umschläge Prämie von X und 2X. Diese Zuordnung unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Preise gültig, ermöglicht es, den Unterschied zwischen den zwei Hüllkurven korrekt zu definieren.

Dieser Unterschied wird in dem Fall des Teilens, entspricht dem Verlust in denen wir begegnen, wenn der erste Umschlag enthält den größeren Wert, sondern auch auf die Verstärkung, die erreicht wird, wenn der erste Umschlag enthält den kleineren Wert.

Fall 2

Angenommen, Sie haben den Wert von Premium-Inhalten in einem Umschlag wissen, und wollen wegen der, wie diese Informationen können die Entscheidung zu ändern zu beeinflussen, ist es wichtig, eine fundierte Vermutung über die Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit denen die Preise wurden in den Umschlägen gewählt werden.

Mit etwas Schritt mathematische kann gezeigt werden, dass sein, in jedem Fall, was auch immer diese Verteilung, beinhaltet die Änderung einen erwarteten Gewinn null.

Eine gleichmäßige Verteilung

  • Wir wissen, dass zu jedem Wert Y, die in der Hülle einen höheren Wert eingesetzt werden kann, wird der Wert X = Y / 2, der in der Hülle von geringerem Wert eingesetzt werden muss zugewiesen.
  • Wir nennen x und y, den niedrigsten Wert desto größer Gehalt in dem Paar von Umschlägen ins Spiel.

Wir können davon ausgehen, dass y zufällig aus einer gleichmäßigen Verteilung zwischen einem Minimum mich M. gewählt

P nennen diese Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Folglich x wird zufällig in einem Bereich Hälfte bis M / 2 gewählt wird, aus m / 2, mit einer einheitlichen Verteilung der Doppelwert

  • So dass der Wert, an dem wir in der ersten Hülle finden wird wahrscheinlich:

Zu normalisieren, so daß die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich 1 ist, muss sie gleich 1 ist die Summe der vier Fälle sein:

Dh:

  • In jedem Fall werden Sie daher erhalten werden folgende Durchschnittswerte der erwartete Gewinn aus dem Tausch:
  • Fasst man die vier Fällen sehen wir, dass der erwartete Gewinn Gesamt exakt Null. Mehr im Detail ist es positiv für einen weniger als mich bitte nach einem zwischen m und M / 2, aber negativ für A größer als M / 2.
  • Dieses Ergebnis lässt sich problemlos auf den Fall, bei dem die minimale m klein wird auf Null, Abbrechen des ersten Intervalls verlängert.
  • Dennoch bleibt das Ergebnis der Verstärkungsfaktor null gilt auch in dem Fall, in dem M groß wird, wie gewünscht, bis zur Unendlichkeit.
  • Im letzteren Fall ist jedoch die Bedeutung des Bereichs 4 1/2 bis unendlich infinto verlieren Sie. Wenn Sie sich nicht über die erste Analyse der M abgeschlossen, leicht wird man geführt, um den Einfluss von diesem Bereich zu vernachlässigen und Ihnen die Möglichkeit, den Ursprung des Paradox erklären, zu verlieren.

Eine ärgerliche Merkmal der gleichmäßigen Verteilung ist, dass, wenn das Intervall M unendlich, abklingende wird die Wahrscheinlichkeit von Wert.
Dennoch, wenn das Intervall M unendlich wird, der durchschnittliche Preis durch die Öffnung eines Umschlags selbst wird infinto erwartet. Dies ist ein weiterer wichtiger Aspekt, der erklärt, warum es scheint, kann vorteilhaft sein, für immer verändern. Was auch immer der Wert, der in der ersten Hülle ist, wird sie immer unterhalb der erwarteten durchschnittlichen angezeigt.

Andere Distributionen

Um die Probleme der Wahrscheinlichkeits evaneszenten und unzählige Auszeichnungen zu überwinden, waren wir Wahrscheinlichkeitsverteilungen abnehm für hohe Prämien analysiert.

Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung p abnimmt, wobei der Anstieg von y, die schneller als 1 / y, es möglich geworden, eine Normalisierung auf 1 die Gesamtwahrscheinlichkeit, dividiert durch das Integral von Null bis Unendlich von PDY, die in diesem Fall ist nicht unendlich.

Es bleibt jedoch immer noch die unendlich Schnittsprämie erwarten, sofern der Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht mit der Erhöhung von y zu verringern, sich schneller.

In allen Fällen, einschließlich der gleichförmigen Verteilung und dem Mittelwert der Verteilung auf unendlich, ist der erwartete Wert der mittleren Verstärkung immer exakt Null.

Für analytische Nachweis, sollte es durch die Zuordnung zwei verschiedene Symbole, um die Wahrscheinlichkeit, dass eine Prämie in Umschlägen und dazwischen angeordnet, und die Wahrscheinlichkeit zu beginnen, ist, dass in den Umschlägen ein Aufgeld von zwischen und platziert. Sind:

Natürlich, wenn., Sollte es sein. Dh:

Die Wahrscheinlichkeit, einen Wert in der ersten Hülle ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die der niedrigste Wert, desto mehr Chancen, das heißt die größer ist. Insgesamt ist der erwartete Gewinn in der Änderung gilt:

So sehen wir, dass, wenn die Verstärkung positiv ist, ist, dass, wenn die vorherige Wahrscheinlichkeit, dass Sie einen Wert von Preis wählen, ist mehr als viermal so wahrscheinlich, einen doppelten Wert gewählt werden.

In anderen Fällen sind wir in der paradoxen Situation statt, oder besser gegen intuitive, ist der Gewinn positiv für jeden Wert, sondern die integrale Summe der erwarteten Gewinne, durch Null unendlich erweitert, ist nichts. In der Tat:

Putting w = 2z und dw = 2DZ:

dass genau Null ist, unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

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