Raum L2

Der Titel dieses Artikels ist nicht richtig auf die Eigenschaften der MediaWiki-Software. Der richtige Titel ist Raum L².

In der Mathematik ist Platz L² oder Raum unendlich-dimensionalen Raum der Folgen von reellen Zahlen oder komplexe Quadrat summierbar. Es ist der Raum, in dem Fall, wo p = 2 ist.

Definition

Er definiert den Raum, der den Raum der reellen oder komplexen Sequenzen in folgender Weise definiert sind:

Der Raum ist ein Vektorraum. Auch ist es ein metrischer Raum, wenn wir definieren den Abstand als:

Die Demonstration wird mit der Minkowski-Ungleichung und der Halter Ungleichheit gemacht. Es ist auch ein Raum, der zählbaren dichten Teilmengen gibt, und dies sagt uns, dass es auch zerlegbar.

Vollständigkeit und die Basis

Der Raum ist ein vollständiger metrischer Raum, dh jede Cauchy-Folge ist konvergent.

Als Konsequenz ergibt sich, daß der Raum mit einer Basis, wobei jedes Element des Raums, und dann wird in einzigartiger Weise so geschrieben ausgestattet:

konvergiert.

In der Notation verwendet wird, zeigt die prime ein Vektor unendlichdimensionale, während der Index gibt die Komponente des Vektors.

Demonstration

Betrachten wir den Fall. Das Konvergenzkriterium der Cauchy eine Folge reeller Zahlen eine endliche Grenze ist, wenn es Cauchy daher eine Cauchy-Sequenz in konvergent, wenn und nur wenn es einen Index, so dass:

für jeden. Dies bedeutet, dass die Sequenz für.

Durch Erweitern des Ergebnisses, um ein generisches, ist es offensichtlich, daß das vorherige Ergebnis gilt auch für eine endliche Aufeinander:

dann, vorbei bis an die Grenze, gilt auch:

ie:

und dann.

Regel

Der Raum ist ein normierter Raum mit der Norm:

So ist es auch ein Banachraum.

Skalarprodukt

Der Raum ist mit dem Skalarprodukt ausgestattet, so ist es eine euklidischen Raum:

Das gleiche gilt für die analogen Komplex, der das Produkt hermitesch ist:

Dies macht den Raum ein Hilbertraum.

Nun stellt sich das Problem, die Linearkombination von Basisvektoren, die am besten in etwa ein Element. In der Praxis sollten Sie die Linearkombination von Basisvektoren, die den Abstand minimiert zu finden:

Mit den Eigenschaften der Standard:

Es wird bemerkt, daß der minimale Abstand wird durch:

Diese Koeffizienten Fourier-Koeffizienten bezeichnet.

Der Satz von Riesz-Fischer

Der Satz von Fischer-Riesz heißt es, dass in einer kompletten Raum jede Folge bei der Definition einer Funktion quadratisch integrierbar. Insbesondere bestimmt der Satz der Bedingungen, bei denen die Elemente einer Sequenz in die Fourier-Koeffizienten eines Vektors von wenigen.

Ob ein System von orthonormale Polynome in einem Hilbert-Raum und ist eine Folge. Es existiert eine eindeutige Vektor derart, dass die Elemente der Folge sind die Fourier-Koeffizienten:

wo ein Inlandsprodukt. Die Sequenz definiert dann eine Funktion in.

Der Satz ist eine stärkere Form der Bessel-Ungleichung:

das durch die Tatsache, dass erhalten wird:

Auch, wenn für jedes Element der Gleichheit gilt, dass Parseval Gleichheit:

dann ist die Basis abgeschlossen.

Der generische Raum

Sie können den Raum l ,, als unendlich-dimensionalen Raum der realen Sequenzen in p-te Potenz summierbar, dh zu definieren:

Der Raum ist ein Banachraum für jeden, mit dem Standard:

Wenn jedoch der Raum ist ein Hilbertraum, das heißt, es gibt keine skalare Produkt, das diese Regel auslöst.

Für die Definition:

und der entsprechende Raum begrenzt Sequenzen. Es stellt sich heraus sein.

Wir können also von Raum zu sprechen.

Einbeziehung der Bereiche

Sie können sehen, dass, wenn das Maß der Menge vorbei ist, wächst auch auf die wachsende des Raumes. Zum Beispiel die Sequenz:

Es ist nicht anzugehören, sondern gehört zu denn da der Serie:

divergiert für, aber konvergiert. Jeder Raum ist also tatsächliche Inhalt selbst und beweist, dass die Regel für jedes Element in weniger als oder gleich ihre Herrschaft zu sehen.

Beziehung mit dem Räumen L

Die Räume sind nicht mehr als ein Sonderfall der Bereiche L, wobei die Menge A Funktionsdefinition ist nichts anderes als die Menge der natürlichen Zahlen und die Messung ist die Maßnahme, die die Anzahl der Elemente einer Menge zählt.

Sie können auch den Platz von jeder abzählbaren Menge zu definieren, bis zu einer Struktur, die durch bezeichnet. Beachten Sie, dass, oder kurz und bündig, ist nichts anderes als euklidischen Raum mit der Norm p.

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