Rekursion

In der Mathematik eine Rekursionsformel, die auch als eine Rekursionsgleichung, ist eine Gleichung, die in den einfachsten Fällen hinsichtlich Komponenten einer Folge, die eine Verbindung zwischen bestimmten Komponenten, die generische Positionen besetzen, aber später, das heißt, eine Form hat, legt Typ:

Die Nummer wird dem Auftragsbericht.

Es gibt auch Berichte von Rückfällen, die mehrere Sequenzen, unendliche Matrizen und Sequenzen mit drei oder mehr Indizes. Typischerweise Rekurrenzrelationen durch Anfangsbedingungen, wie beispielsweise zumindest im Prinzip möglich zu machen, ist die Auswertung der Komponenten des Aufeinander begleitet.

Frühe Beispiele

! Die Fakultät einer natürlichen Zahl n, n, ist definiert durch:

und zum ersten Faktor sind die Werte: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Die Fibonacci-Folge wird durch zwei Anfangsbedingungen und eine lineare Rekursion definiert:

dann zu seiner ersten Komponenten ist: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...

Die logistische Karte entspricht der Beziehung:

Dies ist eine der durch einfache Ausdrücke bereitgestellt Rekursionen, aber mit bestimmten Anfangsbedingungen kann zu sehr komplexen Entwicklungsprozesse führen, sie chaotisch bezeichnet werden. Sie sind ziemlich systematisch von Physikern und Mathematikern auf dem Gebiet der Mathematik genannt nicht-lineare Analyse untersucht.

Alternative Ausdrücke zu den Rekurs

Rekursionen mit geeigneten Anfangsbedingungen zur Verfügung gestellt geben einen Scheck auf Rechensequenz, die oft ziemlich unhandlich. Es kann sehr hilfreich sein, um eine Wiederholung Beziehung einen expliziten Ausdruck für die einzelnen Komponenten der Nachfolge zu erhalten. Für diese Probleme, die wir über die Lösung der Rekursion oder Lösung der Differenzengleichung sprechen. Natürlich gibt nützliche Ausdrücke, die effizient zu ermöglichen und Einschätzungen, die auf Eigentum und Links auf die Nachfolge zu erhalten erlauben.

Lösung von linearen Rekurs

Die Rede ist von einer linearen Rekursion, falls sich der Stornierung einer Polynom ersten Grades in Bezug ausdrückt, das heißt, wenn sie die Form erfolgt:

mit konstanten Koeffizienten, nicht abhängig. Die Rede ist von einer linearen homogenen Rekursion, wenn es ist. Lineare Rekursionen als die oben sollte von Anfangsbedingungen einhergehen muss; In der Tat, wenn Sie zum ersten Mal zuweisen, nach jedem Kriterium, das gleiche Wiederkehr als einen Wert zuweisen, um die eindeutige Bestimmung der aufeinanderfolgenden Glieder der Folge bedeuten, neu geschrieben.

Lineare Rekursionen können mit systematischen Verfahren gelöst werden, die oft mit erzeugenden Funktionen, oder die Beobachtung, dass es eine Lösung für bestimmte Werte ist.

Für Rekursionen in der Form:

es hat die Lösung für die gilt:

Dividieren alle Bedingungen für Sie:

das heißt die charakteristische Gleichung der Rekursion. Es sieht zwei Wurzeln. Wenn diese Wurzeln sind deutliche einen hat die Lösung:

Wenn statt übereinstimmen, das heißt, wenn gilt:

wo und willkürliche Konstanten sind.

Für die Gleichung der Form, in dem besonderen Fall betreffend a wie oben erhalten. Die Konstanten und kann von "Randbedingungen", die in der Regel in der Form gegeben erzielt werden:

Verschiedene Lösungen sind in Abhängigkeit von der Art der Wurzeln der charakteristischen Gleichung erhalten.

Wenn die Rekursion nicht homogen ist, Sie eine bestimmte Lösung, nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten zu finden, und die Lösung ist die Summe aus der Lösung der Rekursionsgleichung homogen und bestimmte Lösung. Es ist interessant festzustellen, dass das Verfahren zur Lösung linearer Differentialgleichungen ist ähnlich wie nun beschrieben. Dies ist natürlich kein Zufall. Wenn man bedenkt, das Taylor-Reihe Lösung lineare Differentialgleichung:

es wird beobachtet, dass die Koeffizienten der Reihe werden durch die n-te Ableitung der gemessenen zu dem Punkt gegeben. Aus der Differentialgleichung wird erhalten lineare Differenzengleichung, die diese Koeffizienten verbindet. Diese Äquivalenz kann die Rekursionsformel für die Koeffizienten in der Lösung mittels des Potenzreihe einer linearen Differentialgleichung schnell lösen.

Fibonacci-Folge

Per Definition ist Platz für die goldene Mitte, leiten wir den Ausdruck:

Die Analyse der rekursive Prozeduren

Viele klassische Algorithmen kann durch rekursive Prozeduren beschrieben. Deshalb ist die Analyse der relativen Berechnungszeit wird zu der Lösung von einem oder mehreren Rekursionsgleichungen die das n-te Glied einer Folge in Abhängigkeit von dem vorhergehenden Ausdruck reduziert.

Wenn Sie die Komplexität eines Algorithmus mittels einer Reihe von Verfahren, P1, P2, P3 analysieren möchten, ... Pm, die zwischen ihnen erinnern sie die Funktion, die den Zeitpunkt der Berechnung durch die i-Verfahren, sondern von Daten verwendet wird, stellt ausnutzt Größe n. Wenn das Verfahren nennt sich durch die Verringerung der Reihenfolge der Daten kann wie folgt beschrieben werden, wobei ein Wert von weniger als.

Analysieren einer Prozedur, die sich selbst aufruft können Sie die folgende Rekursion gesetzt:

Auf diese Weise kann mit Festnetznummer 0 eingegeben ist nur eine Funktion, die erfüllt. Die Analyse eines rekursiven Algorithmus sieht zwei Phasen:

  • Abzug der Rekursionen als die unbekannte Funktion enthält, geschätzt werden
  • Lösung Beziehungen Rekursion gleichen.

Nehmen Sie zum Beispiel den einfachen Code, in C-Sprache der Einfachheit halber geschrieben:

Dieser Code nimmt eine Anzahl m und führt einen Zyklus von 00.00 Erhöhung der Wert sa A, wobei A 0 wird in dem Fall, dass es 0 ist, oder gibt den Wert des i + A.

Und was sie mit, die Rechenzeit und ist:

Diese Sequenzen wurden mit einer Erzeugungsfunktion. Verallgemeinerung:

wir haben:

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