Riesz Darstellungssatz

In Funktionsanalyse, mit Darstellungssatz von Riesz sie sich identifizieren verschiedenen Sätzen, die nach dem ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz benannt sind.

Wenn Sie einen Hilbert-Raum betrachten, stellt der Satz eine wichtige Verbindung zwischen dem Raum und dessen Dualraum. Wenn das Feld im Bereich beteiligt sind die reellen Zahlen, sind die beiden Bereiche sind isometrisch isomorph, während, wenn das Feld die komplexen Zahlen die beiden Räume sind isometrisch anti-isomorph.

Darstellungssatz für lineare Funktionale auf

Ist ein Raum des Hausdorff lokal kompakt und ein positives lineares Funktional im Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger und komplexen Werten. Dann gibt es eine Sigma-Algebra, die alle ihre Borel setzt, und es gibt nur ein Maß, dass:

für jede Funktion, und derart, dass beide der folgenden Eigenschaften:

  •  für jeden Satz kompakt.
  • Für jede Borel-Set in Sie:
  • Für jede der in endliches Maß gesetzt haben:

Es wird gesagt, dass die Maßnahme "ist" die funktional.

Verallgemeinerung

Seit Raum ist eine dichte Teilmenge der Banachraum der stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, kann jedes lineare Funktional kompakten Träger zu einer linearen Funktions beschränkt auf erweitert werden. Der Satz kann dann sagen, dass für jede Funktion zu keinem einzigen regelmäßigen Borel-Maß auf, daß beschränkt verallgemeinert werden:

und derart, dass:

wobei:

Es ist die Gesamtvariation der Maßnahme.

Darstellungssatz für Hilbert-Räume

Ist ein Hilbert-Raum und ist sein Dualraum, bestehend aus allen stetige Linearfunktion auf oder ab. Wenn es ein Element ist, ist die Funktion wie folgt definiert:

Wo gibt an das Skalarprodukt des Hilbert-Raum ist es ein Element. Dann kann jedes Element nur in dieser Form geschrieben werden.

Als Folge ergibt sich, daß bei einer Funktion, die mit jedem Paar von Elementen und der skalaren daß zuordnet:

und für jeden, so gibt es eine eindeutige lineare Abbildung beschränkt, so dass:

Die Regel ist auch die kleinste Konstante, so dass.

Demonstration

Sie wollen zeigen, dass es sich um ein Hilbert-Raum dann seine Dual ist gegeben durch:

wo ist die Menge der linearen opratori von dieser Karte in einem Feld von Skalar beschränkt, während zeigt Inlandsprodukt.

Um die direkte Beteiligung zeigen, genügt die Feststellung, daß die Linearität ergibt sich aus der Linearität des Inlandsprodukts, und durch die folgende Cauchy-Schwarz Ungleichung begrenzt.

Für die umgekehrte Auswirkung, auch nicht. Wenn ja:

Nehmen wir an und sind:

Dann für das Theorem der Projektion in Hilbert-Räumen:

Seitdem. Ist daher:

Für die Linearität der sie aufweist:

und dann:

Deshalb:

Es hat so mit, aus denen:

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