Satz von Fermat auf stationären Punkte

Satz von Fermat an den stationären Punkten ist ein Satz von Zahnstein, die nach Pierre de Fermat benannt ist. Der Satz ist ein Verfahren für die Suche nach den Punkten der maximalen und minimalen eines differenzierbare Funktion, die zeigen, dass jede lokale Extrempunkt ist ein stationärer Punkt der Funktion. Auf diese Weise wird mit Satz von Fermat, das Problem der Suche in der Extrempunkte einer Funktion ist mit dem Gleichungslösung reduziert.

Es ist wichtig zu beachten, dass Fermat stellt nur eine notwendige Bedingung für den Wert der Extrema der Funktion: Es ist wahr, dass alle Endpunkte stationär sind, aber es gibt auch einige stationäre Punkte, die keine Extrempunkte, kann aber Wendepunkten ist. Zu beurteilen, ob ein stationärer Punkt ist ein Extremwert und zu unterscheiden, ob dieser Punkt ein Maximum oder Minimum, ist es notwendig, im Allgemeinen um die zweite Ableitung der Funktion zu analysieren.

Aussage des Satzes

Sowohl eine Funktion, und nehme an, dass ist ein Punkt der lokalen Extrem. Wenn sie differenzierbar an dem Punkt, dann.

Demonstration

Intuitive Demonstration

Unten ist die Idee, den Beweis des Satzes für die maximale Punktzahl der Funktion zugrunde liegt. X0 ist in einem lokalen Maximum, dann gibt es eine Umgebung von x0, dass die Funktion nimmt zu, und nach dem ersten Punkt abnimmt. Da die Ableitung positiv ist, in den Intervallen, in denen die Funktion wächst und negativ in den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt, ist f nach x0 positiv vor negativ. f alle müssen ihre Werte in kontinuierlicher Weise annehmen, so muss notwendigerweise den Wert Null annehmen an der Stelle, durch positive negativ wird. Der einzige Punkt, wo es möglich ist, dass f = 0 ist, dann x 0.

Beachten Sie, dass der Satz, sowie seine Vorführung ist allgemeiner Intuition, da es erfordert, daß die Funktion differenzierbar ist in einer Umgebung von x0. Wie durch den Satz angegeben, ist es ausreichend, dass die Funktion differenzierbar ist nur an der äußersten Spitze.

Strengen Beweis

Nehmen wir an, dass es sich um eine lokale Maximalpunkt. Dann:

Daher ist für jede Relation gilt

Da der Grenzwert für diesen Bericht existiert und ist gleich, dann kann man schließen, dass. Auf der anderen Seite, da es wird bemerkt, dass

wieder, die Grenze für das ist, von dem wir haben.

Kombinieren der Ergebnisse erhalten kann, dass CVD abgeschlossen

Erweiterung auf mehrere Variablen

Es gibt eine Version der Satz von Fermat, das die Funktionen von Vektor variable, dh Funktionen des Typs deckt

. Der Satz stellt eine notwendige Voraussetzung, um durch interne stationären Punkte erfüllt werden.

Aussage

Ist ein offener, und beide; ist ein Punkt, der lokalen Maximum oder Minimum für und differenzierbar. Dann wird der Gradient in der Null-Vektor berechnet wird, ist, dass,

Demonstration

Die Demonstration macht Gebrauch von dem Satz, der bereits für nachgewiesen wurde; Es wird der Satz in dem Fall, dass sowohl eine lokale Minimalpunkt nachgewiesen werden, aber der Beweis ist analog zu den Punkten der maximalen.

Ein Einheitsvektor ist und sowohl die Funktion, die die Erhöhung entlang der Richtung, nämlich misst:

. Die Funktion gibt zu, Minimum, da nach Voraussetzung für alle in einer Umgebung. Darüber hinaus ist es differenzierbar, denn

und die Richtungsableitung des langen existiert. Satz von Fermat für Funktionen des realen wählbaren Garantien an dieser Stelle; da alle Richtungsableitungen an der Stelle Null sind, wird es vor allem die Derivate entlang der Koordinatenachsen und dann sein. Q. E. D.

Kontra Demonstration

Aus dem Beweis ist ersichtlich, daß die Hypothese Differenzierbarkeit nicht wesentlich ist; wenn es sich um einen Punkt estremante für und, wenn es eine Richtungsableitung der Punkt, dann dieses Derivat ist nichts da: der Satz könnte wie folgt umformuliert werden.

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