Sigma-Algebra

Der Titel dieses Artikels ist nicht richtig auf die Eigenschaften der MediaWiki-Software. Der richtige Titel ist σ-Algebra.

In der Mathematik eine σ-Algebra oder Stammes auf eine Reihe, ist eine Familie von Teilmengen von das hat Eigenschaften von Stabilität in Bezug auf einigen Set-Operationen, insbesondere den Betrieb von abzählbare Vereinigung und der Übergang zu ergänzen. Die Struktur σ-Algebra ist besonders nützlich in den Theorien der Messung und Wahrscheinlichkeit und ist die Basis für alle Begriffe Messbarkeit, wobei beide Sätze von Merkmalen. Es ist ein besonderer Fall der Mengenkörper und in Bezug auf den letzteren wird in weit grösserem Analyse verwendet.

Die σ-Algebra, die in der Mathematik am häufigsten auftreten, sind die σ-Algebra boreliane und σ-Algebra der Lebesgue. Obwohl historisch diese beiden Klassen von σ-Algebren haben die Entwicklung des Konzepts der σ-Algebra, um die Wende des neunzehnten Jahrhunderts, und zwanzigsten Jahrhundert mit Blick auf die Formalisierung der Maßtheorie geboren motiviert. Es in der Tat, das genaue Vorstellung von heuristischen Ereignis oder meßbare Menge. Viele wichtige abstrakten Strukturen, in der Mitte des letzten Jahrhunderts die Fortschritte in den Bereichen Mathematik, durch σ-Algebra definiert.

Definition und erste Eigenschaften

Angesichts einer Reihe, wird es als σ-Algebra auf eine Familie von Teilmengen, so dass festgelegt:

  • Der Satz gehört.
  • Wenn ein Satz ist, dann ist sein Komplement.
  • Wenn die Elemente einer abzählbaren Familie von Mengen, dann ihre Vereinigung:

Wenn es ein σ-Algebra auf, dann wird die Messraum und die Elemente werden in messbaren Mengen bezeichnet.

A σ-Algebra, insbesondere eine Mengenalgebra, da die oben erwähnten dritten Bedingung impliziert die Stabilität für die endliche Vereinigung Anfrage bei der Definition der Algebra-Struktur. In einem solchen Fall ist die Stabilität erfordert auch zählbaren Vereinigungen, aus dem die Kennung σ, eine Abkürzung für Nachfolge.

Aus der Definition ergibt sich, dass:

  • Die leere Menge gehört, wobei das Komplement.
  • A σ-Algebra ist für zählbare Schnitt stabil. In der Tat, wenn für irgendwelche, dann:
  • Wenn die Sätze und gehören, dann gilt:

Gegeben zwei σ-Algebren, aus dem gleichen Satz, es wird gesagt, dass das Ende weniger, als wenn es in enthalten ist, oder wenn jede Teilmenge, die zu gehört auch ist. Der Bericht weniger um eine partielle Ordnung auf der Menge der σ-Algebra auf einem gegebenen Satz definiert.

Gegeben zwei Sätzen, und wobei und die jeweiligen Sigma-Algebra, der Sigma-Algebra aus Teilmengen des kartesischen Produkts, und ist das kleinste Sigma-Algebra das enthält.

Der Abschluss einer σ-Algebra, indem zu den Sätzen, die Sätze von Nullmaß umfassen erhalten. Der Abschluss einer σ-Algebra, die die kleinste σ-Algebra, die alle Sätze ist und ordnet Null Maßnahme.

Definierte Strukturen mit σ-Algebren

Der Begriff der σ-Algebra bietet die Möglichkeit, komplexere mathematische Strukturen zu bauen. Folgende Einrichtungen sind einfach, weit verbreitet während des zwanzigsten Jahrhunderts untersucht, sie sind die Grundlage für die Theorie der Maßnahme und Lebesgue-Integral.

Messraum

Ein Messraum ist ein Paar von einem nicht leeren und einer σ-Algebra auf konstituiert. Die Elemente der Sätze sind, messbar. Messräume bilden eine Kategorie, deren Morphismen sind Funktionen messbar. Das Ganze manchmal einen Probenraum, vor allem bei Anwendungen im Zusammenhang mit statistischen und Wahrscheinlichkeit.

Maßraum

Es definiert Fläche beträgt einen messbaren Raum mit einem auf der σ-Algebra definiert positive Maßnahme besteht aus messbaren Teilmengen. Ein solcher Raum ist mit einem Bagger dargestellt.

Wenn der Raum wird gesagt, um zu messen, fertig. Wenn Sie kann auch als eine zählbare Vereinigung von Mengen geschrieben werden:

Messen über, das heißt, derart, dass dann der Meßraum ist σ endlichen gesagt.

Messbare Funktionen

Ist ein Messraum und ein topologischer Raum. Eine Anwendung, die mess- oder -misurabile ist, wenn das Urbild von jedem Element ist in dem Sinne, dass es eine messbare Menge von jedem offen:

In der Sprache der Kategorientheorie kann man als eine messbare Funktion als Morphismus messbarer Bereiche definiert werden.

Dynamisches System

Ist ein Messraum, eine Halbgruppe und für jeden, sowohl eine Anwendung messbar mit der Eigenschaft, dass. In anderen Worten, ist eine Maßnahme meßbar. Der Baggerlader heißt dynamisches System.

Wichtigste Ergebnisse

Bei einer gewöhnlichen Familie von σ-Algebren, kommt es, dass ihre Schnittmenge:

Es ist noch eine σ-Algebra. Es ist die größte σ-Algebra in allen Algebren enthalten, dh wenn für jeden, dann.

Daher bei einer Familie von Teilmengen von allen, können Sie die σ-Algebra ist durch den Schnittpunkt aller σ-Algebra enthält, erzeugt berücksichtigen. Also, von der Definition von σ-Algebra von Folge erzeugt, dass es die kleinste σ-Algebra enthält. Diese Beobachtung ist für die Konstruktion von Maßnahmen sehr eingesetzt, da sie es ermöglicht, eine σ-Algebra, indem einfach eine Familie von Sätzen, die sie erzeugen, zu definieren. Die σ-Algebra durch einen Satz generiert wird oft bezeichnet.

Im Falle von Familien über, dass σ-Algebra aufgezählt werden ausdrücklich gefragt:

und Schließen der Familie im Vergleich zu den Operationen der Vereinigung und Ergänzung.

A π-Systems ist eine Familie von nicht-leere Teilmengen stabile Kreuzung: wenn dann. Ebenso ist eine Gruppe von Teilmengen wird als λ-System, wenn:

  • .
  •  ist für den Durchgang der ergänzenden, das heißt, wenn geschlossen.
  •  ist für die Gewerkschaften zählbaren disjoint stabil: denn wenn die Sätze paarweise disjunkt sind, dann gilt:

In diesem Zusammenhang kann es in einer Grundsatz π-λ Dynkin, der behauptet, dass auf jede nichtleere Menge, wenn ein π-System in einem λ-System enthalten ist, dann ist die ganze σ-Algebra erzeugt angezeigt es ist auch enthalten. Dh impliziert.

Dieser Satz wird sehr häufig in der Messlehre verwendet. Beispielsweise ergibt sich, dass es genügt, die Werte einer Kennzahl eines λ-System, das einen π-System, um die Messfläche bilden zu können ist. In der Tat, denn der Satz π-λ Dynkin, die Maßnahme auf allen gut definiert.

Beispiele und Anwendungen

  • Angesichts jeder nicht leeren, die Familie von Teilmengen ist eine σ-Algebra. Auch die Familie besteht aus allen Teilmengen ist eine σ-Algebra. Dies sind jeweils die kleinsten und der größten σ-Algebra auf; dh, wenn es eine σ-Algebra auf, dann. Typischerweise werden diese beiden σ-Algebren unsachgemäße oder trivial bezeichnet.
  • Jedes Feld von Sätzen aus einer endlichen Anzahl von Elementen ist ein σ-Algebra, da es eine Familie von Sätzen mit einer unendlichen Anzahl von Elementen.
  • Angesichts jeder nicht leeren, die Familie aller Teilmengen der Mächtigkeit, die zählbare oder deren Ergänzung hat zählbare Kardinalität ist eine σ-Algebra. Es wird von allen Teilen, wenn unterschieden und nur wenn nicht zählbar.
  • Betrachten Sie die Menge der reellen Zahlen, oder allgemeiner, mit der üblichen euklidischen Topologie. Es definiert σ-Algebra boreliana der σ-Algebra durch erzeugt wird, in der Regel durch bezeichnet. Die Elemente werden Borel-Sets genannt, und Sie können nachweisen, dass sie die Mächtigkeit des Kontinuums haben. Auf der σ-Algebra boreliana Sie viele der häufig verwendeten Maßnahmen definiert werden kann. Es ist auch interessant festzustellen, dass das Konzept der σ-Algebra ist historisch nur durch die Verallgemeinerung dieser Konstruktion geboren.
  • Allgemeiner gesagt, der Aufbau der σ-Algebra boreliana kann auf jedem topologischen Raum, indem Sie einfach durchgeführt werden. Diese σ-Algebra wird verwendet, um allgemeinere Maßnahmen in Bereichen von der reellen Achse zu bauen. Zum Beispiel wird das Haar-Maß auf lokal kompakten topologischen Gruppen gerade durch die σ-Algebra boreliana der Gruppe definiert. In ähnlicher Weise wird das Konzept der Dualität zwischen stetigen Funktionen und Maßnahmen auf einem topologischen Raum gerade durch die Ausstattung des Raumes mit seinen σ-Algebra boreliana gebaut.
  • In Fall ist die Verwendung manchmal eine σ-Algebra ist viel breiter als boreliana: die σ-Algebra der Lebesgue. Es ist, als die Vollendung des σ-Algebra boreliana als die Borel-Maß definiert und ist grundlegend für den Bau der berühmten Lebesguemaß. Die σ-Algebra Lebesgue hat Mächtigkeit größer als die von der kontinuierlichen: natürlich ist es in dem Satz von Teilen der reellen Zahlen enthalten ist. Es ist jedoch fraglich, ob es Teilmengen der reellen Zahlen die σ-Algebra der Lebesgue nicht appartangono. Diese Untergruppen werden auch als nicht-Lebesguesche messbaren Mengen, und das Vorhandensein eines solchen Teilmengen an den Axiom der Wahl verbunden ist, dass sie aufgebaut werden kann, wenn und nur, wenn man annimmt, dass Axiom. Ein Beispiel eines solchen Mengen ist die Menge von Vitali.
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