Spektraltheorie

In der Mathematik, insbesondere in funktionellen Analyse und lineare Algebra, zur spektralen Theorie er die Erweiterung einiger ihrer Konzepte der linearen Algebra, wie jene von Eigenwerten und Eigenvektoren oder des Spektrums, um eine allgemeine mathematische Zusammenhang, der seine 'ermöglicht umfasst Einsatz in Bereichen sehr unterschiedlich. Insbesondere kommt die spektrale Theorie aus der Untersuchung der analytischen Funktionen.

Der Name "Spektraltheorie" wurde von David Hilbert in seiner ursprünglichen Formulierung der Theorie der Hilbert-Räume eingeführt. Die erste Version des Spektraltheorem war jedoch eine Version des Satzes der Hauptachse eines Ellipsoids im Rahmen der quadratischen Formen in unendlichen Variablen. Anschließend wird die spektrale Theorie verwendet, um die Eigenschaften des Atomspektrums in der Quantenmechanik beschrieben. Nach der ersten Formulierung von Hilbert in der Tat, die Entwicklung der Theorie der Hilbert-Räume und Spektraltheorie für Betreiber verlief parallel zu den normalen Anforderungen der physischen Welt mit Hilfe von verschiedenen Persönlichkeiten, darunter von Neumann.

Im Zusammenhang mit der harmonischen Analyse, die Fourier-Transformation auf der realen Achse können als spektrale Theorie für den Betreiber der Ableitung gesehen werden, wenn auch über eine vollständige Beschreibung ist notwendig, um verallgemeinerte Eigenfunktionen zu verwenden.

Einbringen

Die spektrale Satz legt die Bedingungen, unter denen ein linearer Operator kann als die Summe der Arbeitskräfte zu geschrieben werden, unter Verwendung einer Verbindung aufgrund von Eigenfunktionen des Operators, in einem typischen Verfahren dell'autoteoria.

Verwendung des Dirac-Notation, kann eine Funktion, die auf den Koordinaten wirkt wie folgt geschrieben werden:

Der Träger ist in der Regel als ein Element einer Hilbert-Raum gesehen, und die Wahl Inlandsprodukt Standard definiert seine Norm:

wobei die komplexe Konjugat. Im Folgenden ist die Diskussion nur eine generische Inlandsprodukt.

Ein Operator ist in diesem Zusammenhang, eine Funktion, die auf einer anderen Funktion dient. Betrachten Sie beispielsweise die Bedienperson:

Die Wirkung des Produktes ist eine neue Funktion für das Skalarprodukt:

In allgemeinerer Form kann sie als eine in der folgenden Weise definiert werden Operator:

wobei Skalare sind, eine Basis bilden sie und ist die Grundlage des dualen Raum. Die Beziehung zwischen den beiden Stützpunkten ist beschrieben in Teil von:

Wenn Sie diesen Formalismus zu verwenden, die Zahlen sind die Eigenwerte und Funktionen sind die Eigenfunktionen.

Die Identität des Bedieners, kann beispielsweise wie folgt geschrieben werden:

wobei und noch zwei Basen coduali so daß. Dieser Bericht ist das Identitätsauflösung, auch bekannte Darstellung von Identität, und hat die Eigenschaft:

Durch Anlegen der Identität man bei der Expression in Bezug auf die Grundfunktionen erreicht:

Diese Beziehung wird durch die Ausweitung der Fourierreihe in Funktion verallgemeinert. Von dieser, der allgemeinen Gleichung:

Es kann auf der Basis und auf die folgende Weise geschrieben werden:

Sie können auch die Koeffizienten zu bestimmen:

Letztlich gegeben ein linearer Operator, so dass:

wo sind ihre Eigenwerte, kann der Identitätsauflösung Sie schreiben:

Die spektrale Theorie vertritt daher kümmern Gründung der Natur und die Existenz einer Basis-Funktionen und der jeweiligen Dual-Basis.

Spektrum der beschränkten Operatoren

Bei einer beschränkten linearen Operator in einem Banachraum definiert ist, betrachten die Transformation:

wobei die Identität und einer komplexen Zahl. Der Kehrwert definiert ist als:

Wenn die inverse existiert, wird es als regelmäßige, und wenn es im Singular gesagt.

Die Menge der Resolvente ist die Menge der komplexen Zahlen wie, was existiert und ist begrenzt. Das Spektrum ist die Menge der komplexen Zahlen, so daß es oder nicht beschränkt ist. Die Funktion wird aufgerufen, die Resolvente. Das Spektrum ist dann das Komplement der resolvent in der komplexen Ebene. Jeder Eigenwert gehört, mit dem Spektrum, aber nicht darauf beschränkt, nur Eigenwerte enthält.

Das Spektrum umfasst die Eigenwerte dem angenäherten Eigenwerte, die so, dass sie nicht beschränkt oder nicht vorhanden sind. Dies ermöglicht eine andere Aufteilung des Spektrums in ungefährer Punktspektrum, das heißt, die Menge der Zahlen, für die es eine Sequenz von Einheitsvektoren, so dass:

und das Restspektrum rein, das heißt, die Menge der Zahlen für eine begrenzte und das Bild eine richtige Unterraum. Es wird gezeigt, dass die Menge Resolvente ist eine offene Teilmenge, und dass die Resolvente ist ein auf einer offenen Teilmenge der komplexen Ebene und verbundenen Werten im Raum der beschränkten Operatoren auf definierte analytische Funktion. Insbesondere ist es für analytische jedes maximale Teilmenge verbunden.

Der Betreiber Resolvente

Die Resolvente kann, da die Eigenwerte und Eigenfunktionen ausgewertet werden. Zutreffen auf eine beliebige Funktion, haben wir:

Eine solche Funktion besitzt Pole in der komplexen Ebene in Übereinstimmung der Eigenwerte. Dann unter Verwendung der Methode von Rückständen erhalten wird:

wobei das Integral entlang einer Grenze, die alle Eigenwerte enthält gemacht. Vorausgesetzt, daß es auf den Koordinaten, nämlich definiert ist:

wir haben:

Die Funktion definiert ist als:

ist die Grüne Funktion und erfüllt:

Grün-Funktion und Eigenwertgleichung

Betrachten Sie die Eigenwertgleichung für den Betreiber:

zu erklären, dass die Koordinaten Sie schreiben:

Die Green-Funktion ist:

und erfüllt:

Mit dieser Eigenschaft haben Sie:

Multipliziert man beide Seiten durch die Integration und Sie erhalten:

was bedeutet, dass die Lösung:

Das bedeutet, dass Sie die Funktion, die die Gleichung der Eigenwerte des Operators, wenn Sie das Spektrum berechnen, erfüllt werden können. Die Funktion können Sie konstruieren, zum Beispiel unter Verwendung der Beziehung:

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