Unendliche Produkt

In der Mathematik unendliche Produkt relativ zu einer Folge von reellen oder komplexen Zahlen a1, a2, a3, ... die Einheit, die durch bezeichnet ist sagen wir,

und die definiert ist als der Grenzwert der Teilprodukte a1a2 ... eine für n gegen Unendlich. Das Produkt wird konvergenten, wenn es eine Zahl m so dass die Sequenz

hat ein Limit gleich 0 und ± ∞. Andernfalls wird gesagt, dass das Produkt divergent. Auf diese Weise wird eine konvergente unendliche Produkt Null ist, wenn und nur wenn Sie ein = 0 für ein n haben. Mit dieser Definition können viele der Eigenschaften der Summen der unendlichen Reihe in ähnliche Immobilien für unendliche Produkte umgewandelt werden.

Wenn das unendliche Produkt konvergiert, dann ist der Grenzwert der Folge eine für n gegen Unendlich muss 1 sein, während die Tatsache, dass die Nachfolge-Zelt bis 1 bedeutet nicht zwangsläufig, dass das unendliche Produkt konvergiert. Folglich ist für eine unendliche Produkt konvergierenden, gibt es m, so dass für n≥m Sie hat eine & gt; 0. Daher ist für diese Werte von n ist definiert, die den Logarithmus log ein, und es hat

mit dem zu dem ersten Element, die dann und nur dann, wenn die Summe konvergiert an dem zweiten Element konvergiert. Diese Situation symmetrischen ermöglicht es Ihnen, die Konvergenzkriterien für die unendliche Summen in die Konvergenzkriterien für unendliche Produkte zu übersetzen.

Für Produkte, in denen für jedes n haben, indem die Anzahl, für die sie sein sollte, gibt es die Ungleichungen

und diese zeigen, daß der unendliche Produkt konvergiert ist, wenn die Sequenz des pn konvergiert.

Unendliche Produkte bemerkens

Die bekanntesten Beispiele der unendlichen Produkte sind wahrscheinlich einige der Daten von Formeln für π gefunden, wie die folgende erhalten, die jeweils von François Viète und John Wallis:

Unendliche Produkte für Brust:

Unendliche Produkt für den Cosinus:

Das Produkt Pippenger

Darstellung der Funktionen, die von Produkten

Ein wichtiges Ergebnis für unendliche Produkte besteht in der Tatsache, dass jede ganze Funktion f kann als unendliche Produkt der ganzen Funktionen, die jeweils höchstens eine einzelne Null hat berücksichtigt werden. Im Allgemeinen, wenn f eine Nullstelle der Ordnung m in der Herkunft und besitzt andere komplexe Nullstellen in der Punkte U1, U2, U3, ..., dann

wobei & lgr; n sind nicht negative ganze Zahlen, die Sie können wählen, um ein Produkt zu konvergenten zu machen, und φ einige analytische Funktion eindeutig bestimmt. Die vorherige Zerlegung nicht eindeutig ist, wie es von der Wahl des & lgr; n und nicht besonders elegant hängt. Für die meisten Funktionen sind jedoch einige nicht-negative ganze Zahl mindestens p derart, dass p = & lambda; n stellt eine konvergente Produkts; Dies nennt man die kanonische Repräsentation von Produkt. Dies wird als p-Ranking Produkt Kanon. Darüber hinaus, wenn φ ein Polynom ist, das Ausmaß der φ soll Reihenfolge f. Im Falle, daß sowohl p = 0 ist, es sich dabei um

Dies kann als eine Verallgemeinerung der Fundamentalsatz der Algebra in Betracht gezogen werden, wie für die Polynomfunktionen wird das Produkt endlich und die Funktion φ auf einen konstanten reduziert. Darstellungen dieser Art sind:

Ein weiteres Beispiel eines unendlichen Produkt von Funktionen

Beachten Sie, dass diese Darstellung nicht eine Darstellung in Form von Weierstraß.

  0   0
Vorherige Artikel Sedeinga
Nächster Artikel Schatten

Kommentare - 0

Keine Kommentare

Fügen Sie einen Kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Zeichen übrig: 3000
captcha