Vektorautoregression

In der Ökonometrie, ein VAR-Modell oder Vektorautoregression, ist ein System simultaner Gleichungen der Form:

wo, nach einem VAR, ist es ein Polynom Matrix der Ordnung Verzögerung des Betreibers; ist ein Vektor von Variablen in der Form:

und ist ein Vektor, um stochastische Störungen und so, dass entsprechen. Es wird darauf hingewiesen, daß die Vektorelemente sind nicht notwendigerweise unkorreliert, also allgemein für Elemente indiziert sind, mit; dagegen, falls keiner der Komponenten des Vektors aufweist seriellen Korrelation, das heißt, für jede, für jede.

VAR-Modelle wurden von Christopher Sims in einem historischen Artikel Econometrica im Jahr 1980 veröffentlicht, die eine Kritik der Strukturmodelle von simultanen Gleichungen, dann der Hauptanalysewerkzeug im Bereich der Makroökonomie Ökonometrie Vorschlag eingebracht. Insbesondere sind VAR-Modelle auf das Ganze mehr als die einfachen Strukturmodellen, und ihre Leistung in Bezug auf die Prognosefähigkeit der makroökonomischen Variablen besser erscheinen. Dagegen ist eine offensichtliche Beschränkung der Modelle VAR daß, anders als im Fall der Strukturmodellen oben ist ein Ausdruck, wie die in der Regel nicht vertretbar vom theoretischen Standpunkt aus.

Vorstellungen

Die Darstellung eines VAR-Modell oben dargestellt wird als reduzierte Form bekannt. Es gibt zwei weitere Darstellungen, die Bauform und die endgültige Form.

Die strukturelle Form eines VAR-Modell ist eine Art des Schreibens:

in denen es im allgemeinen verschieden von dem Vektor von Konstanten der reduzierten Form identifiziert es die zeitgenössischen strukturellen Beziehungen zwischen den verschiedenen Komponenten, und der Vektor des Rauschens ist ein weißes Rauschen und weist insbesondere Komponenten, die nicht korreliert sind: zu. Nicht immer die strukturellen Beziehungen in der Matrix eingelagert sind; Diese Schwierigkeit wird in der Probleme der Identifizierung des VAR-Modell als auch bei der Berechnung der Antwort-Funktionen auf einen Impuls reflektiert. In der Regel auch die Theorie nicht angibt, die strukturellen Beziehungen implizit in der Polynommatrix mit dem zweiten Element des obigen Ausdrucks; Dieses Problem hat sich jedoch weniger wichtig.

Offensichtlich Sie von Strukturform in die reduzierte Form wechseln kann, Premultiplying für die inverse Matrix:

Der obige Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:

Welche gibt die endgültige Form des VAR-Modell oder Darstellung Wold:

wobei ein Polynom Matrix im Bedien unendlicher Ordnung, und wird nicht von dem erwarteten Wert beeinflußt. In anderen Worten, die VAR, vector autoregressive Prozess endlicher Ordnung, entspricht einer Prozess unendlicher Ordnung gleitenden Durchschnitt.

Schätzen Sie die Koeffizienten der reduzierten Form und Folgerung

Das VAR-Modell in reduzierter Form geschrieben werden kann als:

Feststellung, dass das zweite Element jeder Gleichung sind die gleichen Variablen ist die VAR entspricht einem Modell SURE, dessen Koeffizienten können, indem jede Gleichung als Standard-Linearregression, unabhängig voneinander bestimmt werden.

Insbesondere nach der Methode der kleinsten Quadrate die OLS Schätzer / maximalen Wahrscheinlichkeit entsprechen; die üblichen T-Statistik auf der Regressionskoeffizienten, sowie Statistiken F für die Existenz der Regression, können verwendet werden. Beachten Sie, dass dies nur möglich ist, wenn Sie irgendwelche Beschränkungen des Modells nicht zu verhängen müssen.

Companion Form und Impulsantwortfunktionen

Der Ausdruck für die reduzierte Form eines VAR-Modell umgeschrieben werden, durch die Kombination von p-Expressionsvektor, in der folgenden Form, wie das englische Wort Companion Form bekannt:

wobei die Einheitsmatrix. Sie nehmen sich Zeit für Ihr Begleiter Form-Notation:

wo, und da können Sie:, wo ist der Varianz-Kovarianz-Matrix der Störungen und bezeichnet die Kronecker-Produkt. Dies macht es möglich, die Ausdruck einer VAR beliebiger Ordnung p als Ausdruck der Ordnung 1 zu behandeln, auf der Grundlage der Begleiter Form.

Betrachten wir nun das Problem der Bestimmung der Wirkung im Laufe der Zeit aus einem stoßStruktur, dh einen Schock aus einer der Strukturstörungen, auf die Variablen des Systems; Nehme für den Moment beachten Matrix, die Erschütterungen des Systems ausbreitet. Aus dem obigen Ausdruck wird deutlich, daß zum Zeitpunkt t gilt:

Sofort haben Sie:

Iteration, in der Regel haben Sie:

Aber angesichts der Beziehung zwischen der reduzierten Form von VAR-Modell und dem Begleiter Form wird es hatte, dass die Wirkung einer Stoß strukturellen, dh in einer der Komponenten des Vektors nach Zeiten, werden für jede Variable des Systems durch das Produkt zwischen dem beschrieben Vektor-Schocks:

und die Blockgröße in der Spitze in der Matrix nach links. Der Wert dieser Wirkung für verschiedene Werte, wird die Impulsantwort-Funktion. Es ist in der Fachliteratur angegebenen gemeinsamen illustriert nicht nur die IRF, sondern auch die IRF kumuliert, um die Summe der Werte des IRF für eine Reihe von Zeitindizes gegeben; es ist leicht zu sehen, wird der kumulierte IRF zeigen die kumulative Wirkung eines Schocks auf die strukturelle / und Anzahl von Interesse.

Das Problem der Identifizierung und strukturelle VAR

Betrachten wir ein VAR-Modell in reduzierter Form; aus der Beziehung zwischen diesem und der Strukturform haben Sie:

Sowohl zur Vereinfachung der Notation. Aus dem obigen Ausdruck ergibt sich, dass:

Da also für die Annahmen über die Verteilung des Vektors struktureller Störungen ist es eine Diagonalmatrix ist. Im Falle eines VAR mit 3 Variablen, haben Sie insbesondere:

wobei die Matrix auf geeignete Weise normalisiert. So haben wir neun verschiedene Parameter:, ,, ,, ,, ,, aber nur 6 Schätzungsgleichungen. Daher nicht alle strukturellen Parameter des Systems identifiziert werden kann. Das ist mehr als ein Problem nur akademisch, weil ohne Kenntnis der strukturellen Koeffizienten ist nicht möglich, die Impulsantwortfunktionen, die das Hauptziel von Interesse für diejenigen, die VARs in der Praxis anzuwenden sind zu berechnen.

Eine mögliche Lösung besteht in der Annahme, daß die Matrix eine untere Dreiecks:

so dass die Anzahl der zu schätzenden Parameter auf 6 reduziert wird, und man genaue Identifikation haben. Diese Strategie wird als die Cholesky-Zerlegung oder Cholesky Kausalkette bekannt. Auf der Grundlage dieser Annahme kann die strukturellen Parameter wie folgt ermitteln: in erster Linie ist zu beobachten, dass die Reste der reduzierten Form von Gleichungen konsistente Schätzungen von Störungen; daher niedriger dreieckig, haben wir:

Mit dieser Schätzung in der zweiten Gleichung der Strukturform; Insbesondere ist es mittels der Regressionsresiduen geschätzt:

Beziehen auch die geschätzten Koeffizienten. Wiederholen dieses Verfahrens, wird es von den Regressionsresiduen schätzen:

Und so weiter. Die Abweichungen können durch die übliche Schätzer der Varianz des Rauschens in einer linearen Regression bestimmt werden.

Problematisch bei einer solchen Lösung ist, dass im Allgemeinen gibt es theoretische Gründe, warum die Matrix, die eine Anzahl von strukturellen Beziehungen beinhaltet, sollte untere Dreiecksform aufweisen. Dennoch in der Praxis die Cholesky-Zerlegung wird von vielen Statistiksoftware, wenn nur für seine Einfachheit verwendet.

Eine Alternative, die nicht die Theorie nicht Opfer ist es, ein Wirtschaftsmodell zu formulieren, um eine Reihe von Einschränkungen für die Parameterwerte, die verwendet werden können, um die Modellidentifikation zu erreichen rechtfertigen. Zum Beispiel würde die ökonomische Theorie impliziert, dass die Matrix symmetrisch ist, so daß in dem obigen Beispiel ,, und die Anzahl der freien Parameter wird erneut auf 6 reduziert wird, Erhalten der genauen Modellidentifikation. Dieser Ansatz führt zu der Formulierung von strukturellen VAR-Modelle. Allerdings sollte in diesem Fall werden sie nicht allgemeine Strategien gegeben, die Lösung wird auf das besondere Problem in Untersuchung abhängen.

Anwendungen

Die hauptsächliche Verwendung von VAR-Modellen ist die Vorhersage ökonomischen Variablen über die Zeit; trotz ihrer scheinbaren Einfachheit sowie das Fehlen einer theoretischen Grundlage zumindest für was betrifft die reduzierte Form wurden VAR Laufe der Zeit zu einer erheblichen prädiktiven Kapazität höher als diejenige der Strukturmodelle, die ihnen voraus bewährt.

VARs haben in der Vergangenheit auf dem Gebiet der Makroökonomie angewandt worden, als statistisches Werkzeug, um die Auswirkungen der Wirtschaftspolitik bewegt sich vorherzusagen. In jüngerer Zeit haben sie in den Bereichen Finanzen, als auch in einer Vielzahl von anderen wirtschaftlichen Bereichen eingesetzt.

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