Verfahren Tangenten

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Februar 29, 2016 Anni Kant V 0 0

In der Mathematik und insbesondere in numerischer Analyse nach dem Verfahren der Tangenten, die auch als Newton-Verfahren oder Newton-Raphson-Verfahren ist eines der Verfahren zur näherungsweisen Berechnung einer Lösung einer Gleichung der Form. Diese werden nach der Bestimmung von einem Bereich, der nur eine Wurzel enthält anzuwenden.

Das Verfahren besteht im Austausch des Kurve der Tangente an die Kurve sich, ausgehend von einem beliebigen Punkt; Der Einfachheit halber kann man aus einer der zwei Punkte, die als Abszisse die Bereichsgrenzen sind und davon ausgehen zu starten, als eine Näherung der Wurzel, der Abszisse des Punktes, wo die Tangente die Achse des innenIntervall.

Angenommen, daß der Bereich der Funktion und ihrer ersten und zweiten Ableitungen existieren und stetig ist und dass die erste Ableitung und die zweite Bedingung von Null verschieden sind.

Wir sollten die Tangente im Extrem des Intervalls, in dem die Funktion und die zweite Ableitung die gleichen Vorzeichen zu ziehen; im Beispiel der Figur am Punkt der Abszisse.

Die Gleichung der Tangente am Punkt der Abszisse ist daher Platzieren

Wir stellten fest, das neue Intervall, das die Wurzel, die wir suchen. Durch Wiederholen des Verfahrens eine neue Annäherung an die Wurzel zu erhalten

Ausgehend iterativ erhalten die Rekursion

die auf das Stamm der aufeinanderfolgenden Näherungen zu bestimmen. Mit gestellten Hypothesen erweist es sich, dass die Folge konvergiert an der Wurzel ziemlich schnell.

Genauer ist gezeigt, dass, wenn

 wo es eine geeignete Umgebung der Wurzel mit und wenn

dann

das heißt, ist die Konvergenz quadratisch, obwohl lokale. Wenn die Wurzel mehrfach, so ist, dann ist die Konvergenz linear. In der Praxis setzen die zulässige Toleranz der Annäherung, wird der iterative Prozess zu beenden, wenn.

Das Problem dieser Methode ist, daß die Konvergenz nicht garantiert ist, insbesondere wenn sehr unterschiedlich nahe Null. Darüber hinaus übernimmt die Methode, dass es für eine bestimmte direkt zur Verfügung steht. Wo dies nicht der Fall, und müsste die Ableitung durch eine endliche Differenz zu berechnen, ist es ratsam, die Sekanten-Methode verwenden.

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