Verteilung Panjer

In der Theorie mit Wahrscheinlichkeitsverteilung der Panjer es gibt eine Klasse von vier diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Ausschüttungen des degenerierten, Binomial, Pascal und Poisson gemacht.

Ursprung

Ausschüttungen Panjer wurden von der kanadischen Statistiker Harry H. Panjer wie bestimmte Klassen von Verteilungen, die Sie, um Lösungen für ein bestimmtes Problem der Risikobewertung zu finden "geschlossener Form" ermöglicht eingeführt.

Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe aus einer Zufallszahl von unabhängigen Zufallsvariablen mit derselben Verteilung zu beschreiben, ist es notwendig, wiederholt die Berechnung der Faltungsprodukt dieser Verteilungen und nicht immer kann deutlich gemacht werden.

Panjer beschrieben eine Klasse von möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für, für die die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann in einer einfacheren Form beschrieben werden; wenn die Variablen folgen eine diskrete Verteilung dann die Verteilung der explizit berechnet werden.

Definition

Eine Verteilung der Panjer mit Parametern ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die natürlichen Zahlen und die Wahrscheinlichkeit, von denen unterstützt werden durch Rekursion definiert

Nicht alle Paare definieren eine Wahrscheinlichkeitsverteilung: jedes Glied der Folge muss positiv sein und die Serie muss konvergieren. Insbesondere ist der erste Faktor nicht unbedingt positive muss null sein:

Binomialverteilung

Und wenn man die Binomialverteilung haben:

Das Verhältnis zwischen A und B muß eine ganze Zahl sein, da ein negativ ist, und als k erhöht den Term b / k kleiner wird; die Begriffe a + b / k negativ werden und damit einer von ihnen muss null sein.

Poisson-Verteilung

Und wenn Sie die Poisson-Verteilung:

Verteilung von Pascal

Und wenn Sie die Verteilung von Pascal:

In diesem Fall müssen Sie haben: dass die Reihe konvergiert dient, dass die Nachfolge permanent abnimmt, oder dass die Beziehung a + b / k zwischen zwei aufeinanderfolgende Amtszeiten von weniger als 1 für jedes k groß genug.

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung, die ein spezieller Fall der Verteilung von Pascal ist ,, wird aus der Verteilung der Panjer mit Parametern erhalten.

Eigenschaft

Obwohl die vier Klassen von Verteilungen unterschiedliche Eigenschaften haben, können einige ihrer Eigenschaften in Form von Ausschüttungen von Panjer ausgedrückt werden. Eine Zufallsvariable X mit Verteilung der Einstellparameter hat Panjer

  • mathematische Erwartung;
  • Varianz.

Diese können durch die zentralen Momente, die durch Rekursion und Beziehungen ausgedrückt werden, erhalten werden kann,

von denen sie stammen

Verallgemeinerungen

Die Rekursionsformel zur Verteilung Panjer kann verwendet werden, um andere Verteilungen definieren, aber in diesem Fall ist die Unterstützung der Verteilung wird willkürlich gewählt, und die resultierenden Verteilungen nicht mehr mit dem Problem der Risikobewertung untersucht durch Panjer verbunden.

Zum Beispiel die Lognormalverteilung, mit natürlichen Zahlen als positiv definiert

Es erfüllt die Beziehung

Allgemeiner können als Verteilungen über die ganzen Zahlen größer als eine festgelegte Anzahl n, oder mit Unterstützung definiert werden.

Eine andere Wahl ist, um zu einer vollen Unterstützung abzuschneiden oder zu verhängen

Für jede Wahl der Parameter ist immer möglich, die Untergruppen so zu wählen, dass die Bedingungen das gleiche Vorzeichen haben, und dass die Reihe konvergiert. Neuskalierung die Bedingungen so, dass ihre Summe 1 ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf definierte erhalten; in jedem Fall keine dieser Distributionen, außer vielleicht eine mit Unterstützung, ist eine Verteilung der Panjer.

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