Vielfalt

In der Geometrie ist eine Vielfalt ein Konzept ganz allgemein mit dem Ziel der Modellierung "Leerzeichen um mehr Größe" festgelegt, möglicherweise gekrümmte, die "mit der Lupe betrachtet" scheinen, Geschirr und dergleichen, um euklidischen Raum, aber das global betrachtet kann das dauern den verschiedensten Formen.

Beispiele für Arten sind die Kurven und Oberflächen. Das Universum ist wohl ein Beispiel für dreidimensionale Mannigfaltigkeit. Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Raumzeit als Sorte mit 4 Dimensionen.

Welche Vorstellung von Vielfalt

Die Idee der "multi-dimensionalen Raum" beschrieben und untersucht in vielfältiger Weise miteinander verbunden. Mit den Werkzeugen der Topologie, Analysis, Funktionentheorie und Algebra bzw. kommen wir zu den Konzepten der topologische Mannigfaltigkeit, differenzierbare Mannigfaltigkeit, komplexe Mannigfaltigkeit und algebraische Vielfalt.

Konzepte wie die feinste Krümmungs werden als Teil der Differentialgeometrie definiert und führen zum Beispiel auf den Begriff der Riemannschen Mannigfaltigkeit.

Topologische Mannigfaltigkeit

Eine Vielzahl topologischen Modell ist ein Raum von der dimensionalen topologischen Sicht: Sie daher nur die grundlegenden Eigenschaften des Raumes, die nur die Form zu charakterisieren definieren.

Formale Definition

Eine Vielzahl von topologischen Dimension ein topologischer Raum des Hausdorff in dem jeder Punkt eine offene Umgebung homöomorph zu einem Open-dimensionalen euklidischen Raum. Die Zahl ist von der Größe der Sorte.

Ein Homöomorphismus zwischen einer offenen und einer offenen nennt man eine Karte. So ist es eine topologische Mannigfaltigkeit, wenn es eine Reihe von Karten, die alles abdecken. Eine Reihe von Karten dieser Art ist ein Atlas. Die Namen "Papier" und "Atlas" werden in Analogie zu den Atlanten Planeten ausgewählt ist: in der Tat wird die Oberfläche der Erde nicht beschreibbar vollständig auf ein Blatt, jedoch ist es möglich, "Stücke" zu beschreiben, durch eine Reihe von Karten, von denen jede Es beschreibt nur einen Bereich der Oberfläche: zum Beispiel mit zwei Papieren der Beschreibung der nördlichen und südlichen Hemisphäre.

Eine Vielzahl von Größen wird oft bezeichnet kurz -Sorten.

Beispiele

Größe von klein

Die Topologie der geringen Abmessung ist der Zweig der Topologie, die die Vielfalt der Größe von bis zu 4 studiert.

Grundsätzlich gibt es nur zwei Sorten von verbundenen topologischen Dimension 1, dem Umfang und der geraden Linie: jede andere Vielzahl der Größe 1 ist in der Tat homöomorph zu einer dieser beiden. Die Vielfalt der Größe 2, ruft Oberflächen, sind unendlich und vielfältiger. Dazu gehören zum Beispiel schon viele bemerkenswerte Beispiele aus der topologischen Sicht: der Kugel, Torus, dem Möbiusband, das Klein-Flasche.

Die Klein-Flasche ist ein gutes Beispiel: Obwohl "vor Ort" ein zweidimensionales Objekt, ist es nicht möglich "global" als Teilmenge der Ebene oder im Raum oder die Vermeidung von "Selbstüberschneidungen", sondern "erreichbar" im vierdimensionalen Raum, in technischen Sinne, dass es eine topologische Eingliederung; oder eine kontinuierliche Anwendung und Injektion, dass es ein homeomorphism auf das Bild, das heißt, welches eine homeomorphism und als topologische Teilraum betrachtet oder mit der Topologie von der Weltraumumgebung induziert ausgestattet. In dem Fall, wo die Aufnahme topologischer Verbriefung von Tauch differenzierbare wird gesagt, dass es eine differenzierbare Integration, Einbettung in Englisch.

Eine Vielzahl von Größe 3 intuitiv ist ein Objekt, das Universum in dem wir leben, "könnte". Die 3-Sorten sind nicht leicht zu sehen, und deren Studie ist ein wichtiger Zweig der Topologie. Die Poincaré-Vermutung, im Jahr 2003 von Grigori Perelman bewiesen, war eine große ungelöste Problem für mehr als ein Jahrhundert, an diesem Bereich.

Eine Vielzahl der Größe 4 ist eine Aufgabe noch schwieriger, anzuzeigen. Das Studium der Sorten mit vier Dimensionen ist ein zentraler Punkt der modernen Mathematik, mit zahlreichen Links zu der theoretischen Physik: die allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Raumzeit in der Tat als ein 4-Vielfalt.

Kugelflächen

Eine sphärische Oberfläche beliebiger Grße ist immer eine Vielzahl dimensional. Es ist, als der Ort von Punkten in die Gleichung definiert

und die nördlichen und südlichen Hemisphäre sind Teilmengen, wo und auf. Die stereographische Projektion beschreibt zwei Karten, von denen jeder eine der beiden Halbkugeln.

Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit, auf dem Sie die Tools von Zahnstein zu verwenden. Mit diesen Werkzeugen können Sie über Tangentenraum, Vektorfeld, differenzierbare Funktion, Differentialform usw. sprechen

A differenzierbaren Mannigfaltigkeit als topologische Mannigfaltigkeit, dessen Übergangsfunktionen sind jedoch unterscheidbar definiert.

Wenn die Übergangsfunktionen sind analytisch, wird die sich ergebende Struktur als analytisches Vielfalt.

Vielzahl komplexer

Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit, auf dem Sie die Tools von komplexen verwenden: die komplexe Vielfalt ist, dass dieselbe Komplex von differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Eine Vielzahl komplexer ist als eine Vielzahl von topologischen Dimension definiert ist, deren Funktionen Übergang, wie Karten zwischen offenen durch die Identifizierung von natürlichen mit angesehen, sind aber holomorph.

Da analytische Funktionen differenzierbar sind, hat eine Vielzahl auch eine komplexe Struktur differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Algebraische Varietät

Eine algebraische Sorte mittels anderer als der für die topologische Mannigfaltigkeit differenzierbare oder komplexe verwendeten Techniken definiert.

Eine algebraische Vielfalt ist eine Aufgabe, die lokal als die Menge der Nullstellen von Polynomen mit einer oder mehreren Variablen, wobei ein fester Bereich, beispielsweise im Bereich der realen oder komplexen Zahlen definiert ist. Die einfachsten Beispiele von algebraischen Varietäten ähnliche Sorten und projektive Varietäten.

Affine Varietät

Eine Vielzahl affine ist eine Teilmenge davon ist die Lage der Nullstellen eines Satzes von Polynomen in Variablen. In anderen Worten, es ist die Menge der Punkte, an dem Abbrechen gleichzeitig alle die Polynome in, dass der Satz von Lösungen aus einem System von Polynomgleichungen. Im Allgemeinen bedeutet dies, dass unterstreicht die Abhängigkeit von der Sammlung.

Die Polynome in Not nicht endlich an Zahl. Wenn es das Ideal, erzeugt wird, ergibt, daß so jede Sorte ist tatsächlich die Null Locus eines idealen Polynome. Die Bedeutung von Idealen in der Ringtheorie ergibt sich aus dieser Tatsache.

Projektive Varietät

Eine projektive Varietät ist eine Untergruppe der projektiven Raum, ähnlich wie bei der affine Varietät als Null Ort einer Menge von Polynomen definiert. Der einzige Unterschied zu der affinen Fall ist in der Tatsache, dass diese Polynome Variablen und weil die homogene Koordinaten eines Punktes im projektiven Raum innerhalb einer multiplikativen Konstante definiert ist, müssen diese Gleichungen homogen sein, so daß sie sinnvoll sind.

Riemannschen Mannigfaltigkeit

Ein Riemannschen Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, in der die Tangentenraum an jedem Punkt mit einem Skalarprodukt, die sich kontinuierlich ändernden den Punkt variiert ausgestattet. Ähnlich dem, was für die euklidische Räume passiert, das Vorhandensein dieses Skalarprodukt ermöglicht, der Abstand zwischen den Punkten zu sprechen, Längen von Kurven, Winkel, Flächen und Volumen.

Insbesondere ein Riemannschen Mannigfaltigkeit ein metrischer Raum, in dem definiert wird das Konzept der geodätische Kurve, die lokal als der Abstand zwischen zwei Punkten erreicht. Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit liegen dann alle geometrischen Elemente der klassischen euklidischen Geometrie, obwohl ihr Verhalten kann stark von der üblichen Verhalten der Körper im Plan unterscheiden: zum Beispiel kann nicht die Euklids fünftes Postulat wert sein, oder andere Axiome der Hilbert. Vor Ort wird dieser Unterschied im Verhalten durch die Krümmung der Riemannschen Mannigfaltigkeit gemessen. Weltweit ist es aufgrund der Topologie der Sorte.

Beispiele für Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind die Sub-euklidischen Raum. Die dimensionalen Kugel in ist ein Paradebeispiel der Riemannschen Mannigfaltigkeit mit positiver Krümmung. Euklidischen Raum hat stattdessen Nullkrümmung. Ein wichtiger Raum mit negativer Krümmung ist der Poincaré Platte: dies ist die Verwendung jeder Kugel in, auf denen jedoch definiert eine andere Metrik als der euklidische.

Herkunft des Begriffs

In italienischer Sprache übersetzt Vielzahl Mannigfaltigkeit das deutsche Wort, das zum ersten Mal in der Doktorarbeit von 1851 von Bernhard Riemann, Grundlagen für Eine allgemeine Theorie der Functionen Einer veränderlichen complexen Grösse angezeigt. Riemann ist das Problem der Einführung der "Größen molteplicemente erweitert", dh mit "plus size", sowie Baugruppen mit diesen Begriff.

Analyse der Begriff als zusammengesetztes Wort, Mannig-faltig-keit, erkennen Sie darin eine Parallele zu den lateinischen Begriff Multi-plic-itas, so könnte es wörtlich als "Vielheit" übersetzt werden.

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